735 – geometria
Un trapezio rettangolo ha le basi lunghe rispettivamente 7 e 3, e in esso è possibile inscrivere un cerchio tangente a tutti e quattro i suoi lati. Quanto misura il raggio di questo cerchio?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p735.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Mind Your Decisions.)
734 – geometria
Un cerchio di raggio 12 è inscritto in un triangolo rettangolo, come nel disegno (non in scala). Il cerchio divide l’ipotenusa in due segmenti a e b=44. Quanto vale a?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p734.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Mind Your Decisions.)
733 – probabilità
Una rana si trova in uno stagno dove ci sono quattro ninfee in fila, che numeriamo 1, 2, 3, 4. Inizialmente si trova sulla ninfea 2. Se la rana si trova sulla ninfea 1 oppure 4, se ne sta lì bella tranquilla. Se è sulla ninfea 2 può spostarsi sulla 3 con probabilità 1/2 e sulla 1 con probabilità 1/2; se è sulla ninfea 3 può spostarsi sulla 4 con probabilità 2/3 e sulla 2 con probabilità 1/3. Qual è la probabilità che la rana termini i suoi salti sulla ninfea 1?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p733.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema di Michael Coffey, da The Fiddler; immagine da FreeSVG.)
732 – aritmetica
Il SAT è un test americano per l’ammissione ai college. La domanda seguente è stata posta nel primo SAT che si è avuto nel 1926.
Data la successione che comincia con 750, 21, 264, 183, 210, quali sono i due numeri successivi, e perché?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p732.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Mind Your Decisions.)
731 – aritmetica
I divisori di 114 sono 1, 2, 3, 6, 19, 38, 57, 114. Come vedete, al loro interno sono presenti tutte le cifre tra 1 e 9. Qual è il numero più piccolo che ha la questa proprietà? E se voleste avere anche lo 0?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p731.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema dalla Chris Smith’s Maths Newsletter.)
@matematica
730 – probabilità
Conoscete sicuramente il problema di Monty Hall. Ho sbaragliato gli altri concorrenti e ora Monty Hall mi presenta tre porte: dietro una di queste c’è un’automobile (elettrica, ovviamente) mentre dietro le altre due c’è una capra. Io devo scegliere una porta e vincerò quello che sta dietro di essa; ma so che Monty Hall – che sa dove si trova l’auto – aprirà una porta dove si trova una capra e mi chiederà se voglio cambiare porta. Si può dimostrare che effettivamente conviene cambiare idea.
Supponiamo però che io abbia scoperto che una delle due capre è Vincent Van Goat, l’animale di compagnia preferito dal multimilionario John Hircus, che l’ha persa qualche giorno fa e pagherebbe una fortuna – molto più del valore dell’auto – per riaverla. Insomma io voglio vincere quella capra, non l’auto. Monty Hall naturalmente non sa nulla della cosa: per lui tutte le capre sono uguali e tirano cornate allo stesso modo. Comincia il teatrino, Monty Hall rivela che dietro una delle porte che non avete scelto c’è una capra, io la guardo e vedo che non è Vincent. A questo punto cosa mi conviene fare?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p730.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da sigmaleph su Tumblr; immagine da SVG Silh.)
Ultimo aggiornamento: 2025-01-13 10:52
729 – geometria
Una stella a cinque punte come quella mostrata in figura contiene cinque triangoli (nel contesto di questo gioco non si considerano i triangoli con una o più linee al loro interno). Aggiungete due rette alla figura e ottenete dieci triangoli.
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p729.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema dalla rubrica di Alex Bellos.)
Ultimo aggiornamento: 2025-01-06 20:26
Il 2025 è un anno il cui valore ha molte proprietà matematiche, come racconta Greg Ross:
Nel 2025 avremo inoltre un “giorno pitagorico”: il 24/7/25, perché 24² + 7² = 25².
Se volete giocare un po’ con il numero 2025, ecco alcuni problemi, gli ultimi due tratti da Mathy Jokes for Mathy Folks.
Infine, siete in grado di emulare Inder Taneja e ottenere 2025 usando al più nove copie di una singola cifra da 1 a 9, con le quattro operazioni, l’elevazione a potenza e parentesi a piacere? Lo si può fare con tutte e nove le cifre.
Aggiornamento: (7 gennaio) Ecco la dimostrazione per induzione che la somma dei cubi da 1 a $n$ (che abbrevio in $C_n$) è uguale al quadrato della somma dei numeri da 1 a $n$: il tutto per induzione. Il caso $n = 1$ è immediato; se l’uguaglianza vale per $n$ abbiamo nel caso $n+1$
$(1 + 2 + \cdots + n + (n+1))^2 = ((1 + 2 + \cdots + n) + (n+1))^2 = (1 + 2 + \cdots + n)^2 + (n+1)^2 + 2(1 + 2 + \cdots + n)(n+1) = C_n + (n^2 + 2n + 1) + 2n((n+1)/2)(n+1) = C_n + n^2 + 2n + 1 + n^3 + 2n^2 + n = C_n + n^3 + 3n^2 + 3n + 1 = C_n + (n+1)^3 = C_{n+1}.$
Ultimo aggiornamento: 2025-01-07 11:20