Avete a disposizione un alfabeto che comprende solo tre lettere: M, I, U. Potete comporre stringhe con queste lettere a partire da una stringa già presente, ma seguendo queste regole obbligatorie:

(a) Se una stringa termina con una I, si può aggiungere una U; quindi da UMI si ottiene UMIU, o in generale xI → xIU, dove x è una stringa qualunque (anche nulla).
(b) Se una stringa comincia con M, si può raddoppiare la parte dopo la M; quindi da MUMMI si ottiene MUMMIUMMI, o in generale Mx → Mxx.
(c) Se una stringa contiene tre I consecutive, le si possono sostituire con una U; quindi da MIIIM si ottiene MUM, o in generale xIIIy → xUy.
(d) Se una stringa contiene due U consecutive, le si possono togliere; quindi da UUIMI si ottiene IMI, o in generale xUUy → xy.

All’inizio avete solo a disposizione la stringa MI. Quale successione di operazioni è necessaria per arrivare a ottenere la stringa MU?


(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p660.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema presentato da Douglas Hofstadter in Gödel, Escher, Bach.)

Mai come quest’anno l’elezione del rappresentante di Doubleback Alley nella Consulta della contea di Rutland è stata polarizzata. Come certo sapete, ogni casa ha diritto a un singolo voto; ma quello che forse non sapete è che Doubleback Alley è un vicolo cieco, con una serie di casette a schiera (meno di 100) una di fronte all’altra, tranne quella di Ron Nasty che chiude il vicolo. Inoltre, per confondere le acque in classico stile britannico, le case non sono numerate da un lato pari e dall’altro dispari, ma si comincia con la 1 a sinistra e si prosegue fino all’ultima che è quella di fronte alla 1. Tutto il lato sinistro voterà per Dirk McQuickly e tutto il lato destro voterà per Stig O’Hara; l’unico indeciso (forse perché aspetta di vedere chi lo pagherebbe di più) è Ron Nasty che abita nella casa in fondo al vicolo. La cosa più divertente è che Stig e Dirk vivono uno di fronte all’altro, e il numero civico di Dirk è esattamente il 45% maggiore di quello di Stig. Qual è il numero civico di Ron?

immagine da freepik

Un insieme S si dice “sum-free” se presi due qualsiasi suoi elementi a e b la somma a+b non appartiene a S. Un esempio di insieme sum-free è dato dalle potenze di tre {1, 3, 9, 27, 81, …}: le potenze di due non funzionano perché possiamo sommare due volte un numero e ottenere quello successivo, come in 2+2=4. Se consideriamo i numeri da 1 a 4, possiamo suddividerli in due insiemi sum-free in un solo modo: {1,4} e {2,3} Riuscite a suddividere i numeri da 1 a 13 in tre insiemi sum-free, sapendo che c’è una sola soluzione possibile se si eccettua il fatto che il 7 può essere inserito in uno qualunque dei tre insiemi (e quindi si hanno tre soluzioni distinte) e che {1,4} e {2,3} restano insieme?


(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p658.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Joe Roberts, Lure of the integers, pag. 195)

Il numero 42 si può scrivere come 15+27. Sia 15 che 27 sono numeri dispari composti (3·5 e 3³). Trovate tutti i numeri (positivi) pari che non possono essere scritti come somma di due numeri (positivi) dispari non primi.


(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p657.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Joe Roberts, Lure of the integers, pag. 189)

Ultimo aggiornamento: 2023-08-20 22:26

Quanti e quali sono i numeri primi che sono anche somma e differenza di due numeri primi? (Ricordo che 1 non è un numero primo)


(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p656.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Joe Roberts, Lure of the integers, pag. 52)

Il terzo maggior fattore (non necessariamente primo…) di 10 è 2: infatti se li ordiniamo dal maggiore al minore abbiamo 10, 5, 2, 1. Trovate tutti i numeri il cui terzo maggior fattore è 99. (Se sono infiniti, indicateli con una formula)


(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p655.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema di Puzzle Critic, da Twitter – o devo chiamarlo X?)

Ultimo aggiornamento: 2023-08-06 18:05

Prendete il numero 13: la somma delle sue cifre è 4 (in qualunque base numerica lavoriamo: se siamo in base 4, naturalmente la somma delle cifre di 13 si indicherà con “10”, ma è sempre lo stesso numero). Consideriamo ora 13 come un numero scritto in base 4: se lo convertiamo in base 10 abbiamo 7. Definiamo dunque 7 numero basico: in generale un numero basico è quello che se espresso in una certa base ha la somma delle sue cifre uguale alla base stessa. Altri esempi di numeri basici sono 9 (se lo scriviamo in base 2 è 1001, e la somma delle sue cifre è 2) e 19 (se lo scriviamo in base 10 continua a essere 19, e 1+9=10). Possiamo avere anche numeri basici in basi maggiori di 10: se usiamo la base 16, per esempio, il numero 106 si scrive 6A, e 6+A è proprio 16, o se preferite 10 scritto in base 16. In compenso, 2 non è basico; in base 2 si scrive 10 e quindi la somma delle cifre è 1, mentre nelle basi superiori a 2 si continua a scrivere 2 e quindi inferiore alla base stessa. Quali sono i numeri non basici tra 1 e 100?

(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p654.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema di Richard Mankiewicz, da Gifted Mathematics.)

Ultimo aggiornamento: 2023-07-30 10:39

Un numero intero n si dice paladino se il numero dei suoi divisori positivi è uguale al numero delle sue cifre. Evidentemente l’unico numero paladino di una cifra è 1, e i numeri paladini di due cifre sono quelli primi (che hanno come divisori 1 e il numero stesso). Quanti sono i numeri paladini di tre cifre? E qual è il più piccolo numero paladino di quattro cifre?

(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p653.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema dalla Olimpíada Paulista de Matemática, 2011, prima fase.)

Ultimo aggiornamento: 2023-08-06 19:40