Insiemi sum-free

Un insieme S si dice "sum-free" se presi due qualsiasi suoi elementi a e b la somma a+b non appartiene a S. Un esempio di insieme sum-free è dato dalle potenze di tre {1, 3, 9, 27, 81, ...}: le potenze di due non funzionano perché possiamo sommare due volte un numero e ottenere quello successivo, come in 2+2=4. Se consideriamo i numeri da 1 a 4, possiamo suddividerli in due insiemi sum-free in un solo modo: {1,4} e {2,3} Riuscite a suddividere i numeri da 1 a 13 in tre insiemi sum-free, sapendo che c'è una sola soluzione possibile se si eccettua il fatto che il 7 può essere inserito in uno qualunque dei tre insiemi (e quindi si hanno tre soluzioni distinte) e che {1,4} e {2,3} restano insieme?

   

   

Problema da Joe Roberts, Lure of the integers, pag. 195).