Un’altra approssimazione non-trigonometrica
Dopo quella della scorsa settimana, ecco un’altra approssimazione trigonometrica scovata da John D. Cook. Immaginate di avere un arco $a$ (in rosso in figura) di un cerchio di raggio $r$, il cui angolo al centro relativo è $\theta$. La corda sottesa dall’angolo (in blu) è lunga $c$, mentre la corda sottesa da metà dell’angolo (in verde) è lunga $b$. Come sappiamo, se misuriamo in radianti abbiamo che $a = r\theta$. Ma se non abbiamo un goniometro ma solo un righello? Vale allora l’approssimazione
$$ a = rθ ≈ 12 b^2/(c + 4b).$$
L’approssimazione è come sempre migliore per un angolo piccolo, ma è rimarchevole anche per angoli moderatamente grandi. Se per esempio abbiamo (anche se non lo sappiamo…) $\theta = \pi/3$, cioè 60 gradi, e il raggio del cerchio è 1 per semplificare i conti sappiamo che $a = \theta$, e $c = 1$. Se ora misurassimo $b$, otterremmo 0,51764 con cinque cifre significative. La formula ci dà per l’arco $a ≈ 1,\! 04718$, mentre il valore esatto a sei cifre significative è $1,\! 04720$. In pratica gli errori di misurazione sono molto maggiori dell’errore compiuto usando la stima!
La dimostrazione si vede in figura. Partiamo con un angolo $ \varphi = \theta/4 $ e costruiamo le righe ausiliare mostrate in figura. Abbiamo una serie di triangoli simili: quindi $ \cos(\varphi) = c / 2b $ e $ \sin(\varphi) = b / 2r$. Espandendo in serie di potenze,
$$ c / 2b = \cos(\varphi) = 1 − φ^2/2! + \varphi^4/4! − … $$
$$ 2b / a = \sin(\varphi) / \varphi = 1 − \varphi^2/3! + \varphi^4/5! − … $$
Se moltiplichiamo $ 2b / a $ per 3 e sottraiamo $ c / 2b$, i termini $\varphi^2$ si cancellano e resta
$$ 6b / a − c / 2b = 2 − \varphi^4/60 + … $$
da cui
$$ 6b / a − c / 2b ≈ 2 $$
La formula segue immediatamente. Avendo tolto un termine alla quarta potenza e anche diviso per 60 è chiaro che anche per valori non piccolissimi di $\varphi$ l’errore è minimo.
Un’ultima curiosità: sia questo risultato che il precedente sono stati pubblicati durante la seconda guerra mondiale. La mia ipotesi è che non avendo ancora calcolatori elettronici i matematici applicati cercavano di semplificare il lavoro dei calcolatori umani.
Siamo stati in tanti a scrivere dell’intervista di Walter Veltroni a Claude. Però oggettivamente bisogna dare atto che il testo era ben costruito, con un percorso che per chi ha un’idea di come funzionano gli LLM non dice nulla di nuovo ma in astratto ha un senso logico. Sul Corriere abbiamo ben altri esempi.
Stamattina nella sezione “lotta nel fango” (no, scusate, “Per te”) di Twitter (no, scusate, X) ho trovato 
C’è qualcosa che mi ha lasciato perplesso nella lettura di questo libro, anche se non riesco a focalizzarla bene. Non è lo stile molto personale di Adami; non è nemmeno la parte matematica della spiegazione delle peculiarità della teoria quantistica, che anzi è fatta molto bene. La parte di crittografia quantistica poteva forse essere più ampia, ma uno si accontenta anche così. Ecco, forse il problema è che almeno io ho spesso perso il filo conduttore, cosa che su temi non certo semplici come questo è un problema. Però nonostante ciò mi sento di consigliare il testo per chi volesse avere una visione un po’ più personale della teoria dei quanti.