L’aritmetica modulare è una di quelle parti della matematica che non sono affatto difficili da comprendere, e anzi vengono usate nella vita di tutti i giorni senza grandi problemi, però non vengono quasi mai insegnate a scuola. Provo così a scrivere qualcosa al riguardo, per la gioia di grandi e piccini.
I moduli nella vita di tutti i giorni
Cominciamo subito da un esempio reale – non per me, in effetti, e probabilmente per nessuno in questo decennio; ma dovrebbe essere comunque comprensibile. Se una persona entra in discoteca alle 23 e ci sta cinque ore, quando ne esce? Alle 4 del giorno dopo, più o meno in grado di intendere e volere. Ma 23+5=28, non 4! Il nostro discotecaro ha anche perso la facoltà di contare? Ovviamente no, le 4 sono nella giornata successiva e i conti tornano. Però se stiamo guardando un’orologio digitale che non indica la data, l’operazione 23+5=4 è perfettamente corretta. Un matematico direbbe che la somma è corretta modulo 24; se vogliamo usare concetti più terra terra possiamo dire che il resto della divisione per 24 dell’operazione 23+5 è 4. Storicamente in effetti l’operazione di modulo è nata per utilizzare i resti, e solo in seguito è stata assorbita nella teoria dei gruppi, di cui però al momento non parlo.
Altri esempi di occorrenze “naturali” dei moduli sono l’orologio analogico con le lancette, che considera i numeri modulo 12, e la trigonometria, dove gli angoli sono calcolati modulo 360 gradi (o 2π radianti… ma di nuovo andiamo fuori strada, soprattutto perché in questo caso non stiamo più dividento per un numero intero). La prova del nove, anche se a prima vista non ce ne accorgiamo perché non facciamo esplicitamente le divisioni, lavora con i numeri modulo 9; se ci limitiamo a guardare l’ultima cifra, quella più a destra, nei calcoli stiamo in realtà lavorando modulo 10. Infine, se vogliamo fare le cose in grande e guardare attentamente i sistemi di crittografia a chiave pubblica, scopriremo che anche in quel caso si usano i moduli, anche se di numeri parecchio più grandi.
Sommiamo, ma non confrontiamo
Se i numeri modulo 12 sono i resti della divisione per 12 di un numero intero qualunque, è chiaro che i possibili valori sono esattamente 12, quelli da 0 a 11. Più in generale, i numeri modulo k vanno da 0 a k-1. “Ma nell’orologio non ci sono le ore 0! Sono le 12!”, mi dirà qualcuno. La risposta è “sì, ma cosa importa?” In effetti se lavoriamo modulo 12 allora 0 e 12 sono la stessa cosa, visto che la differenza tra di loro è 12… e dodici diviso dodici dà resto zero. Se vogliamo essere pignoli come un Vero Matematico, dobbiamo dire che 0 e 12 sono congrui (modulo 12); non arrabbiatevi però troppo se mi scapperà qualche “uguale” al posto di “congruo”.
All’atto pratico è come se avessimo suddiviso tutti i numeri, positivi e negativi, in dodici classi distinte come gli animali del calendario cinese, e poi per ciascuna classe scegliamo un rappresentante. Convenzionalmente si usano i numeri da 0 a k-1 perché semplificano le operazioni, ma non c’è nulla di male in certi casi a prendere quelli da 1 a k; in altri casi, ad esempio quando si usano i numeri modulo 3, si può anche scegliere di prendere come rappresentanti 0, 1 e -1 “per ragioni di simmetria”.

Tabella 1: somma modulo 12
Che ci facciamo con questi numeri? Beh, iniziamo con le quattro operazioni! Per la somma, nella tabella 1 vediamo cosa succede con la somma modulo 12. Sarete d’accordo con me che non è che la cosa sia così eccitante: la tabella sembra più che altro uno di quelle strisce di led dove scorrono le parole. Lo zero si comporta come ci si aspetta da lui; l’unica cosa che potrebbe sembrarci strana è che il risultato della somma è minore dei due addendi, come in 8+5=1. Ma è proprio così? Stiamo dando per scontato che i moduli possano essere ordinati. Ma questo non è affatto vero: anche in un orologio, uno può dire che le cinque sono “dopo” l’una, ma un altro può ribattere di no, che l’una del pomeriggio sono dopo le cinque del mattino, e non si vede come dargli torto. Potremmo pensare di dire “sì, ma dalle cinque all’una c’è più distanza che tra l’una e le cinque, e quindi c’è un ordine implicito”. Ma è meglio lasciar perdere, visto che con questo “ragionamento” 5 è maggiore di 1, 9 è maggiore di 5, ma 1 è maggiore di 9 modulo 12: e questo non sembra troppo bello.
La differenza si calcola esattamente come la somma. Si potrebbe scrivere una tabellina apposta, e lo potrei lasciare come esercizio per il lettore: ma probabilmente non ne vale la pena, visto che è facile usare “alla rovescia” la tabellina per somma scegliendo il sottraendo nella riga in alto, cercando il minuendo all’interno della colonna ad esso corrispondente, e leggendo il risultato sulla colonna a sinistra. Ma c’è un altro modo per fare una sottrazione! Possiamo infatti scrivere a-b nella forma a+(-b). A prima vista non sembrerebbe esserci chissà quale vantaggio, anzi: ma questo è perché siamo abituati ai numeri usuali. Con i moduli, non ci vuole nulla a sostituire un numero negativo con uno positivo! Per esempio, -4 è per definizione la stessa cosa che 12-4, cioè 8; quindi 5-4 è pari a 5+8, cioè 13 e quindi 1. All’atto pratico può ancora essere utile imparare a fare le differenze, visto che passare da 5-4 a 5+8 in realtà ci complica le cose: ma almeno in linea di principio la sottrazione è un’operazione inutile, e ci basta una tabellina dell’addizione e una lista dei numeri complementari.

Listato 1: opposti modulo 12
(continua)