Ieri avevo mostrato una successione generata con regole molto semplici che tendeva al valore pi greco. Spero che i miei ventun lettori, o almeno quelli di loro che hanno una formazione matematica, abbiano capito che era uno scherzo. Le successioni delle due colonne sono di tipo Fibonacci, visto che ogni numero è la somma dei due precedenti. Questo significa che il rapporto tra due numeri successivi in ogni colonna tende al valore aureo φ; le due colonne sono successioni di Fibonacci, la seconda scalata di un fattore 5 e la prima scalata di un fattore 6 e senza i primi due termini. Ciò significa che il rapporto tra le due successioni tenderà a 6/5 φ² (il bello del rapporto aureo è anche questo!)

Come spiegato in Futility Closet, il gioco funziona perché vale l’approssimazione $ 1,2 \cdot \phi^2 \approx \pi $; inoltre mi sono limitato a mostrare cinque cifre decimali e soprattutto mi sono fermato all’undicesima riga; proseguendo si sarebbe arrivati a un valore pari a circa 3,141640787 che è esattamente il rapporto approssimato indicato sopra ed è legato alla costruzione delle due colonne.

(immagine da Magazine uBC fumetti)

Ultimo aggiornamento: 2024-03-14 07:00

Dopodomani è il Pi Day: mi sembra simpatico mostrare un semplice modo per generare pi greco con un algoritmo ricorsivo, proposto da James Davis nel Journal of Recreational Mathematics. Costruiamo due colonne, la prima con i numeri 12 e 18 e la seconda con 5 e 5, e calcoliamo il rapporto dei numeri su ogni riga: abbiamo 12/5 = 2,4 e 18/5 = 3,6. Da qui continuiamo ad aggiungere righe, dove nelle due colonne scriviamo la somma dei due numeri precedenti di quella colonna, facendo poi la divisione. Otteniamo questo risultato:

$ \begin{array}{r r r}
\qquad 12 & 5 & 2,40000 \\
\qquad 18 & 5 & 3,60000 \\
\qquad 30 & 10 & 3,00000 \\
\qquad 48 & 15 & 3,20000 \\
\qquad 78 & 25 & 3,12000 \\
\qquad 126 & 40 & 3,15000 \\
\qquad 204 & 65 & 3,13846 \\
\qquad 330 & 105 & 3,14286 \\
\qquad 534 & 170 & 3,14118 \\
\qquad 864 & 275 & 3,14182 \\
\qquad 1398 & 445 & 3,14157 \\
\end{array}| $

Come vedete, l’operazione converge a pi greco! Carino, vero?

(immagine modificata da Wikimedia Commons)

Sono sicuro che vi ricordate tutti dai tempi della scuola che se prendete un triangolo e costruite la parallela a un lato in modo che essa tagli gli altri due lati, otterrete un triangolo più piccolo che è simile a quello di partenza. Quello che probabilmente non sapete (e non sapevo nemmeno io fino a poco tempo fa) è che è possibile disegnare un’altra retta che taglia il triangolo originario e ci dà un triangolo simile a quello di partenza. Dove sta il trucco? Semplice: si scambiano tra di loro i due angoli alla base!

Nella figura qui sopra potete vedere un esempio di questa retta, che prende con parecchia fantasia il nome di antiparallela. Pat Ballew, da cui ho preso le informazioni per questo post, dice che Apollonio aveva già studiato questa retta, ma le aveva chiamata “subcontraria”.

Come si può costruire un’antiparallela? Ci sono vari modi: io ne mostro un paio. Nel primo si traccia la bisettrice AM del triangolo BAC, si sceglie un punto O in essa e si costruisce una retta per O che faccia con la bisettrice un angolo uguale a BMA: come si vede dalla figura, i triangoli ABM e AOP sono simili. Il secondo modo è forse più semplice, e sicuramente lo è con Geogebra: si prende un punto P sul lato AC e si costruisce la circonferenza per B, C, P. Se questa circonferenza incontra il lato AB in un punto Q, PQ è l’antiparallela cercata. Come mai? Semplice. Il quadrilatero BCPQ è per costruzione ciclico (cioè inscritto in una circonferenza), e quindi i suoi angoli opposti CBQ e QPC sono supplementari. Ma anche APQ e QPC sono supplementari, pertanto CBQ = APQ, come volevasi dimostrare.

A questo punto dovrebbe essere intuitivo che se prendiamo un cono non retto (dove cioè l’asse non è ortogonale alla base) esistono due piani che tagliando il cono danno una circonferenza: quello parallelo alla base e quello che forma delle antiparallele. Questi esempi sono forse un po’ forzati; ma esiste un caso in cui le antiparallele arrivano spontaneamente. In un triangolo acutangolo, il triangolo ortico è quello che ha come vertici i piedi delle altezze del triangolo stesso. (Se il triangolo non fosse acutangolo il triangolo ortico finirebbe fuori da quello di partenza). Giovanni Fagnano dimostrò nel 1775 che esso è il triangolo inscritto di perimetro minore; ma quello che importa a noi è che il triangolo ortico è formato da tre antiparallele! Per vederlo (grazie a Roberto Zanasi per la dimostrazione…) basta notare che sia il triangolo BTC che il triangolo BSC sono rettangoli, e quindi inscritti in una semicirconferenza di diametro BC; pertanto BTSC è un quadrilatero ciclico, e per quello che abbiamo visto sopra l’angolo TBC è congruente a AST. Notevole, vero?

Ultimo aggiornamento: 2024-03-06 17:53

Oggi è San Valentino, e immagino che molti che sanno un po’ di matematica saranno pronti a disegnare la cardioide: una figura che si ottiene prendendo due circonferenze uguali, tenendone ferma una, scegliendo un punto dell’altra, facendo ruotare la seconda circonferenza intorno alla prima, e vedendo che curva forma quel punto. Qui vedete una cardioide, con la sua equazione parametrica da dare in pasto a Geogebra.

(1 – 2cos(t) + cos(2t), 2sin(t) – sin(2t))

Però diciamocelo: una cardioide non assomiglia per nulla a un cuore, checché ce lo vogliano far credere. E io non avrei mai inviato una Valentine con disegnata quella figura :-) Ma per fortuna i matematici sono gente tenace, e si sono impegnati a trovare equazioni più complesse ma dal risultato indubbiamente migliore.

Il tedesco Eugen Beutel, nel suo testo Algebraische Kurven pubblicato a Lipsia tra il 1909 e il 1911, ha per esempio costruito una equazione di sesto grado, (x² + y² – 1)³ = x² y³ , che dà la prima curva che vedete qui sotto; Raphaël Laporte ha invece creato un’equazione parametrica (x = sin³ t, y = cos t – cos⁴t) che dà la seconda curva. Direi che ci avviciniamo già di più.

Ma direi che la soluzione più bella sia quella di Keishiro Ueki, che in un certo senso è una generalizzazione della cardioide, come potete vedere in questa pagina: se la cardioide può essere vista come il movimento dell’estremo di un segmento lungo 2 attaccato a uno lungo 1 che percorre, una circonferenza, se si attacca un altro segmento di lunghezza 4 si arriva a un bel cuore.

Se infine volete altri cuori più facilmente costruibili con riga e compasso, chiedete a Torsten Sillke!

(Grazie a Roberto Zanasi per avermi insegnato a fare una curva parametrica con Geogebra senza dover vedere una quantità abnorme di video)

Immagino e spero che conosciate tutti Life: il “gioco” (uso le virgolette perché non c’è nessun vero giocatore: una volta decisa la configurazione di partenza il prosieguo è ) ideato da John Horton Conway in cui si vede evolvere una configurazione di caselle in un campo quadrettato infinito. Ciascuna “cella” (quadretto) può essere “viva” (colorata di nero) o “morta” (colorata di bianco), e ha otto vicini (le celle che hanno almeno un punto di contatto con quella di partenza). A ogni “generazione” le celle che hanno meno di due oppure più di tre vicini muoiono; quelle con due o tre vicini continuano a vivere, e nelle posizioni con esattamente tre vicini vivi nasce una nuova cella. In Life si può costruire praticamente di tutto: è stato infatti dimostrato che è equivalente a una macchina di Turing.

Alcune configurazioni hanno la caratteristica che ritornano allo stato iniziale dopo un certo numero di generazioni; la configurazione viene detta oscillatore e il numero di generazioni che riporta alla configurazione iniziale è detto periodo dell’oscillatore. Qui sopra vedete un blocco (che ha banalmente periodo 1), un semaforo (periodo 2: a ogni generazione ci sono tre celle vive, o in orizzontale o in verticale), e un’ape operaia (periodo 9). Se cliccate sui link potete vedere come le configurazioni evolvono.

Una domanda che ci si può porre è se esistano oscillatori di un qualunque periodo. Dovrebbe essere evidente che basta verificare la cosa per i periodi che sono una potenza di un numero primo: se un numero è esprimibile come il prodotto di due fattori primi tra loro basta partire con le due configurazioni corrispondenti poste sufficientemente lontane tra di loro perché non interagiscano. Resta comunque un numero infinito di configurazioni originali da trovare: la situazione si sbloccò nel 1996, quando David Buckingham mostrò che era possibile trovare un oscillatore che poteva essere modificato per generare un qualunque periodo maggiore o uguale a 61. Nel 2013 il limite è sceso a 43, grazie a Mike Playle e al suo Snark Loop che poteva essere banalmente modificata per generare un qualunque periodo maggiore o uguale a 43.

Restavano dunque da riempire solo alcuni buchi, e lo scorso dicembre alcuni ricercatori hanno pubblicato un articolo dove mostrano gli ultimi due oscillatori mancanti, di periodo 19 e 41. Tutto questo è stato reso possibile dalla teoria – nuovi metodi di ricerca – e dalla pratica, vale a dire computer molto veloci per testare le configurazioni. È sempre bello quando un problema viene risolto definitivamente, no?

(immagini da Conway’s Life)

Ultimo aggiornamento: 2024-02-09 10:16