Dopodomani è il Pi Day: mi sembra simpatico mostrare un semplice modo per generare pi greco con un algoritmo ricorsivo, proposto da James Davis nel Journal of Recreational Mathematics. Costruiamo due colonne, la prima con i numeri 12 e 18 e la seconda con 5 e 5, e calcoliamo il rapporto dei numeri su ogni riga: abbiamo 12/5 = 2,4 e 18/5 = 3,6. Da qui continuiamo ad aggiungere righe, dove nelle due colonne scriviamo la somma dei due numeri precedenti di quella colonna, facendo poi la divisione. Otteniamo questo risultato:
$ \begin{array}{r r r}
\qquad 12 & 5 & 2,40000 \\
\qquad 18 & 5 & 3,60000 \\
\qquad 30 & 10 & 3,00000 \\
\qquad 48 & 15 & 3,20000 \\
\qquad 78 & 25 & 3,12000 \\
\qquad 126 & 40 & 3,15000 \\
\qquad 204 & 65 & 3,13846 \\
\qquad 330 & 105 & 3,14286 \\
\qquad 534 & 170 & 3,14118 \\
\qquad 864 & 275 & 3,14182 \\
\qquad 1398 & 445 & 3,14157 \\
\end{array}| $
Come vedete, l’operazione converge a pi greco! Carino, vero?
(immagine modificata da Wikimedia Commons)
E’ uno scherzo vero? Eppure non siamo ancora al 1 aprile…
Come fa a convergere a pi greco?
Il mio foglio elettronco dice che non ce la fa…
Si, carino. Un post con la spiegazione (semplice) del perché converge a pi?
domani spiego tutto!
Ho fatto due conti e converge sì, ma a un altro valore.
In pratica abbiamo 3 successioni di Fibonacci sfalsate e il rapporto si può scrivere come:
R=(12*Fi(n-2)+18*Fi(n-1))/(5*Fi(n))
Sostituendo a Fi(n) il suo valore calcolato con la sezione aurea F
Fi(n)=(F^n)/rad(5) e facendo le varie semplificazioni alla fine resta
R=(12+18F)/(5F^2), che vale “quasi” pigreco.
PS: se ho rovinato la sorpresa mi dispiace, ma credo sia la prima volta dai tempi di Analisi I che mi sono divertito così tanto a fare dei calcoli…