Oggi è San Valentino, e immagino che molti che sanno un po’ di matematica saranno pronti a disegnare la cardioide: una figura che si ottiene prendendo due circonferenze uguali, tenendone ferma una, scegliendo un punto dell’altra, facendo ruotare la seconda circonferenza intorno alla prima, e vedendo che curva forma quel punto. Qui vedete una cardioide, con la sua equazione parametrica da dare in pasto a Geogebra.

(1 – 2cos(t) + cos(2t), 2sin(t) – sin(2t))

Però diciamocelo: una cardioide non assomiglia per nulla a un cuore, checché ce lo vogliano far credere. E io non avrei mai inviato una Valentine con disegnata quella figura :-) Ma per fortuna i matematici sono gente tenace, e si sono impegnati a trovare equazioni più complesse ma dal risultato indubbiamente migliore.

Il tedesco Eugen Beutel, nel suo testo Algebraische Kurven pubblicato a Lipsia tra il 1909 e il 1911, ha per esempio costruito una equazione di sesto grado, (x² + y² – 1)³ = x² y³ , che dà la prima curva che vedete qui sotto; Raphaël Laporte ha invece creato un’equazione parametrica (x = sin³ t, y = cos t – cos⁴t) che dà la seconda curva. Direi che ci avviciniamo già di più.

Ma direi che la soluzione più bella sia quella di Keishiro Ueki, che in un certo senso è una generalizzazione della cardioide, come potete vedere in questa pagina: se la cardioide può essere vista come il movimento dell’estremo di un segmento lungo 2 attaccato a uno lungo 1 che percorre, una circonferenza, se si attacca un altro segmento di lunghezza 4 si arriva a un bel cuore.

Se infine volete altri cuori più facilmente costruibili con riga e compasso, chiedete a Torsten Sillke!

(Grazie a Roberto Zanasi per avermi insegnato a fare una curva parametrica con Geogebra senza dover vedere una quantità abnorme di video)