Quando ho scritto Chiamatemi pi greco, ho mostrato una formula che permetteva di calcolare l’n-sima cifra esadecimale della nostra costante preferita senza dovere calcolare quelle precedenti. Terminavo scrivendo

Chissà, magari in futuro qualcuno troverà una formula simile in base 10… La cosa non è impossibile, e per qualche altra costante matematica una formula di quel tipo esiste davvero, ma almeno per il momento non pare che ci siano buone notizie su quel fronte.

Le bozze del libro mi sono arrivate il 28 gennaio 2022. Il giorno dopo Simon Plouffe, uno degli scopritori della formula che avevo citato, ha pubblicato un preprint dove ha mostrato una formula per trovare l’n-sima cifra decimale di π. Come indovino ho ancora qualche margine di miglioramento…

Potete vedere qui sotto (oltre che nella figura iniziale…) la formula in questione. Prima si definisce il numero

$ \pi_n = \left( \frac{2(-1)^{n+1}(2n)!}{2^{2n}B_{2n}(1-2^{-n})(1-3^{-n})(1-5^{-n})(1-7^{-n})} \right)^{1/(2n)} $

e poi si calcola l’n-sima cifra decimale di pi greco come

$ d_n = \textrm{int} ( 10 \textrm{ frac} (10^{n-1} \pi_{n-1})) $

dove int() e frac() calcolano rispettivamente la parte intera e frazionaria di un numero.

So che ve lo state chiedendo: i B_n sono i numeri di Bernoulli. Plouffe spiega che a partire dal decimo numero di Bernoulli l’approssimazione

$ \pi \approx \left( \frac{2n!}{B_n2^n} \right )^{1/n} $

per n pari è molto precisa. (Se n è dispari i numeri di Bernoulli tranne il primo valgono tutti zero, quindi non funzionano). Preso per esempio $ n = 1000 $, l’errore che si commette è minore di $ 2^{-1000} $. I prodotti che vedete a denominatore arrivano infine dall’approssimazione della zeta di Riemann, scritta come produttoria infinita usando la formula di Eulero. È noto (l’ha dimostrato Eulero) che $ \zeta(2n) $ è un multiplo razionale di $ \pi^{2n} $; sostituendo il valore e prendendo i primi quattro valori della produttoria si arriva al risultato mostrato in cima.

Tutto bello, in teoria: peccato che la formula richieda di computare i numeri di Bernoulli, e per farlo in genere si usano formule che partono da un’espressione con pi greco. Insomma questo risultato è carino, ma assolutamente inutile in pratica!

Nel 2013 Dan Piponi, attualmente capo matematico di Epic Games, postò questo tweet, come ((molto) difficile) problema del giorno: dimostrare che $ π^{π^{π^π}} $ non è un numero naturale. Chiunque sa un po’ di matematica sarebbe pronto a scommettere che non lo è. Chiunque sa abbastanza matematica sa che non riuscirà a scoprirlo nel corso della sua vita.
Come può essere possibile, vi chiederete? Basta calcolare alcune cifre decimali del risultato, e si vede subito se non sono nulle. Peccato che, come potete leggere in questo articolo di Scientific American, le cose non siano tanto semplici.

Innanzitutto è possibile che una catena di esponenziali di questo tipo dia effettivamente un risultato che è un numero naturale. Per esempio, $ ( \sqrt{2} ^ \sqrt{2})^{\sqrt{2}} = \sqrt{2} ^ {\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \sqrt{2} ^2 = 2$. In linea di principio insomma non ci sono problemi. Il guaio è che i numeri in gioco, anche se non sembra, sono enormi. Quanto vale quel numero? Secondo le regole della matematica, bisogna calcolarlo dall’alto verso il basso. Partiamo quindi con $ π^π \approx $ 36,46. Se eleviamo pi greco a questo numero, otteniamo circa 1.34… x 10¹⁸, un numero dell’ordine del trilione (in italiano) o quintilione (nell’uso anglosassone). E dobbiamo ancora elevare pi greco a questo valore! Il risultato finale ha quasi 10¹⁸ cifre: per dare un’idea, noi conosciamo solo poco più di 10¹⁴ cifre decimali di pi greco, quindi siamo ben lontani dal riuscire anche solo ad avvicinarsi al calcolo. Tre anni fa Matt Parker ha fatto un video dove stima che ci vorrebbe almeno il doppio di cifre decimali note solo per calcolare la prima cifra decimale di quel valore, con il rischio che non basti nemmeno… (Come dice Timothy Gowers, se la catena fosse di soli tre esponenziali ce la potremmo ancora fare). Ed essendo pi greco un numero con infinite cifre dopo la virgola, non possiamo nemmeno pensare a qualche trucco per trovare solo le ultime cifre, come potremmo per esempio fare per scoprire quali sono le ultime due cifre di 1000000!

Vabbè, c’è sempre la possibilità di mettere in campo le armi teoriche della matematica e dimostrarlo in modo non numerico. O no? No. In teoria dei numeri è facile fare congetture: esiste per esempio la congettura di Schanuel, di cui è già difficile da comprendere il testo, che tra le tante cose dimostrerebbe che $ π^{π^{π^π}} $ è trascendente e quindi non può essere un numero naturale. Solo che nessuno ha nemmeno idea di dove iniziare a partire per dimostrare la congettura… Insomma, possiamo magnà tranquilli, non dovrò aggiornare il post per dire che il problema è stato risolto.

Il premio Abel è stato inventato dai norvegesi perché non esiste un Nobel per la matematica: non è così conosciuto, ma ha lo stesso valore (anche monetario, se siete quelli per cui pecunia non olet).
Quest’anno è stato assegnato a Michel Talagrand. Che ha fatto di importante? Beh, da quanto ho capito io il suo campo di studi consiste nell’usare tecniche stocastiche (e quindi legate alla casualità) per ottenere stime su quanto una soluzione si avvicina all’ottimalità. Pensate ai problemi NP-completi, come quello del commesso viaggiatore: trovare il miglior percorso per coprire 100 città è proibitivo, per quanto i computer possano migliorare in futuro. Ma se genero un certo numero di tentativi e faccio la media della lunghezza dei percorsi, se so che questa media può dare un’idea del valore ottimo, a questo punto se trovo un percorso più lungo del 3% rispetto al valore ottimo mi posso accontentare. Lo so, a qualcuno di voi può sembrare un’eresia usare la matematica per ottenere un valore che si sa essere errato: ma ricordatevi che la matematica serve anche come aiuto per vivere nel mondo reale.

Termino con due aneddoti. Stefano Pisani racconta che Talagrand riuscì a formalizzare matematicamente un’intuizione fisica di Giorgio Parisi che “i matematici considererebbero una stregoneria”: non ho nessun dubbio su questa frase di Talagrand, sapendo come i fisici mettano sotto il tappeto qualunque cosa se il loro “senso fisico” dice che stanno facendo una cosa giusta. Se poi andate sul suo sito, oltre a trovare una sezione dove seguendo un’onorata tradizione matematica ha messo una taglia su alcuni problemi irrisolti, troverete la seguente frase:

If you are desperate to get my books and your library can’t afford them, try to type the words “library genesis” in a search engine. I disagree with piracy, but this site saved me many trips to the library, which unfortunately does not carry electronic versions of older books.

Come si fa a non amarlo?

(immagine ufficiale di Talagrand, Peter Badge, Typos1, dal sito del Premio Abel)

Ultimo aggiornamento: 2024-03-27 22:16

La scorsa settimana è stato annunciato un nuovo record di numero di cifre di pi greco. Bisogna dire che non c’è stato chissà quale miglioramento: da 100 trilioni (o 100.000 miliardi, se vogliamo usare la scala lunga) siamo passati a 105 trilioni. La cifra in posizione 100 trilioni è un 6, almeno secondo il gruppo di lavoro che ha superato il proprio precedente record. Il tutto in due mesi e mezzo di computazione.

La cosa più interessante è che a quanto sembra il collo di bottiglia non è tanto la CPU, anche se hanno comunque usato un sistema 128-core dual-processor con 1 tera e mezzo di DRAM (ma che girava Windows Server 2022…), quanto lo spazio per salvare i dati! I 36 moduli SSD della Solidigm possono contenere un petabyte di spazio… (inutile dire che quelli di Solidigm si sono subito fatti pubblicità!)

Per i curiosi, il calcolo è stato eseguito applicando l’algoritmo di Chudnovsky: se avete letto il mio Chiamatemi Pi Greco sapete che alla fine del millennio i fratelli Chudnovsky hanno implementato una delle mistiche formule di Ramanujan e generato alcuni record per mezzo di un computer “casalingo”, nel senso che era stato assemblato nelle varie stanze di casa loro.

(immagine di lxlalexlxl da OpenClipArt)

Ieri avevo mostrato una successione generata con regole molto semplici che tendeva al valore pi greco. Spero che i miei ventun lettori, o almeno quelli di loro che hanno una formazione matematica, abbiano capito che era uno scherzo. Le successioni delle due colonne sono di tipo Fibonacci, visto che ogni numero è la somma dei due precedenti. Questo significa che il rapporto tra due numeri successivi in ogni colonna tende al valore aureo φ; le due colonne sono successioni di Fibonacci, la seconda scalata di un fattore 5 e la prima scalata di un fattore 6 e senza i primi due termini. Ciò significa che il rapporto tra le due successioni tenderà a 6/5 φ² (il bello del rapporto aureo è anche questo!)

Come spiegato in Futility Closet, il gioco funziona perché vale l’approssimazione $ 1,2 \cdot \phi^2 \approx \pi $; inoltre mi sono limitato a mostrare cinque cifre decimali e soprattutto mi sono fermato all’undicesima riga; proseguendo si sarebbe arrivati a un valore pari a circa 3,141640787 che è esattamente il rapporto approssimato indicato sopra ed è legato alla costruzione delle due colonne.

(immagine da Magazine uBC fumetti)

Ultimo aggiornamento: 2024-03-14 07:00

Dopodomani è il Pi Day: mi sembra simpatico mostrare un semplice modo per generare pi greco con un algoritmo ricorsivo, proposto da James Davis nel Journal of Recreational Mathematics. Costruiamo due colonne, la prima con i numeri 12 e 18 e la seconda con 5 e 5, e calcoliamo il rapporto dei numeri su ogni riga: abbiamo 12/5 = 2,4 e 18/5 = 3,6. Da qui continuiamo ad aggiungere righe, dove nelle due colonne scriviamo la somma dei due numeri precedenti di quella colonna, facendo poi la divisione. Otteniamo questo risultato:

$ \begin{array}{r r r}
\qquad 12 & 5 & 2,40000 \\
\qquad 18 & 5 & 3,60000 \\
\qquad 30 & 10 & 3,00000 \\
\qquad 48 & 15 & 3,20000 \\
\qquad 78 & 25 & 3,12000 \\
\qquad 126 & 40 & 3,15000 \\
\qquad 204 & 65 & 3,13846 \\
\qquad 330 & 105 & 3,14286 \\
\qquad 534 & 170 & 3,14118 \\
\qquad 864 & 275 & 3,14182 \\
\qquad 1398 & 445 & 3,14157 \\
\end{array}| $

Come vedete, l’operazione converge a pi greco! Carino, vero?

(immagine modificata da Wikimedia Commons)

Sono sicuro che vi ricordate tutti dai tempi della scuola che se prendete un triangolo e costruite la parallela a un lato in modo che essa tagli gli altri due lati, otterrete un triangolo più piccolo che è simile a quello di partenza. Quello che probabilmente non sapete (e non sapevo nemmeno io fino a poco tempo fa) è che è possibile disegnare un’altra retta che taglia il triangolo originario e ci dà un triangolo simile a quello di partenza. Dove sta il trucco? Semplice: si scambiano tra di loro i due angoli alla base!

Nella figura qui sopra potete vedere un esempio di questa retta, che prende con parecchia fantasia il nome di antiparallela. Pat Ballew, da cui ho preso le informazioni per questo post, dice che Apollonio aveva già studiato questa retta, ma le aveva chiamata “subcontraria”.

Come si può costruire un’antiparallela? Ci sono vari modi: io ne mostro un paio. Nel primo si traccia la bisettrice AM del triangolo BAC, si sceglie un punto O in essa e si costruisce una retta per O che faccia con la bisettrice un angolo uguale a BMA: come si vede dalla figura, i triangoli ABM e AOP sono simili. Il secondo modo è forse più semplice, e sicuramente lo è con Geogebra: si prende un punto P sul lato AC e si costruisce la circonferenza per B, C, P. Se questa circonferenza incontra il lato AB in un punto Q, PQ è l’antiparallela cercata. Come mai? Semplice. Il quadrilatero BCPQ è per costruzione ciclico (cioè inscritto in una circonferenza), e quindi i suoi angoli opposti CBQ e QPC sono supplementari. Ma anche APQ e QPC sono supplementari, pertanto CBQ = APQ, come volevasi dimostrare.

A questo punto dovrebbe essere intuitivo che se prendiamo un cono non retto (dove cioè l’asse non è ortogonale alla base) esistono due piani che tagliando il cono danno una circonferenza: quello parallelo alla base e quello che forma delle antiparallele. Questi esempi sono forse un po’ forzati; ma esiste un caso in cui le antiparallele arrivano spontaneamente. In un triangolo acutangolo, il triangolo ortico è quello che ha come vertici i piedi delle altezze del triangolo stesso. (Se il triangolo non fosse acutangolo il triangolo ortico finirebbe fuori da quello di partenza). Giovanni Fagnano dimostrò nel 1775 che esso è il triangolo inscritto di perimetro minore; ma quello che importa a noi è che il triangolo ortico è formato da tre antiparallele! Per vederlo (grazie a Roberto Zanasi per la dimostrazione…) basta notare che sia il triangolo BTC che il triangolo BSC sono rettangoli, e quindi inscritti in una semicirconferenza di diametro BC; pertanto BTSC è un quadrilatero ciclico, e per quello che abbiamo visto sopra l’angolo TBC è congruente a AST. Notevole, vero?

Ultimo aggiornamento: 2024-03-06 17:53