No, niente sesso. Molto più banalmente, calcolate l’area della parte colorata di questo triangolo.
Come racconta Presh Talwalkar, l’area colorata è uguale all’area del triangolo grande, cioè 32,5 cm², meno quella del triangolo non colorato, che è 8 cm² (la sua altezza è 5−2 cm e la sua base 13−5 cm); in tutto dunque 24,5 cm². Ma possiamo anche calcolarla direttamente, come la somma delle aree dei due triangoli colorati: quello rosso ha area 20 cm², mentre quello verde ha area 5 cm². Totale: 25 cm². Dove abbiamo sbagliato i conti?? Da nessuna parte!
Il trucco è esattamente quello del quadretto mancante, che vedete qui a destra. In pratica, quello che sembra un triangolo non lo è perché le due linee diagonali hanno una pendenza leggermente diversa, ed è proprio quella diversità che porta ad avere una differenza di un quadretto se sovrapponessimo le due figure.
I lettori più interessati si saranno chiesti se è un caso che le misure che abbiamo nel problema sono dei numeri di Fibonacci. La risposta è ovviamente no, non è un caso; dati tre numeri di Fibonacci consecutivi $ F_{n-1}, F_n, F_{n+1} $ vale sempre la relazione $ (F_n)^2 = (F_{n-1})(F_{n+1}) \pm 1 $ , con i più e i meno che si alternano se $ n $ è pari o dispari.
Mi sembra che l’identità rilevante sia in realtà (F_n)^2 – F_{n-2}F_{n+2}=(-1)^n. Immagino in qualche modo si possa ricavare dall’altra usando anche la formula di ricorsione, ma non mi sembra immediato e a quel punto la si può derivare direttamente solo dalla formula di ricorsione.
io la vedo come 5×13 = 65 = 64+1, e quindi i due quasi triangoli hanno la pseudoipotenusa che aggiunge o toglie mezzo quadretto. Poi naturalmente tutte le formule portano allo stesso risultato…
Ma il 64 a cosa corrisponde? Cioè, geometricamente l’identità 5*13=64+1 a cosa corrisponde nella figura?
Io la vedo come
13*2+5*8 (area triangoli) = 13* 5 (area rettangolo) +1
oppure, andando al complementare,
13*3+5^2 (area triangoli nel complementare) = 13* 5 (area rettangolo) – 1.
(che in realtà non vedo come immediatissime neanche dall’equazione che ho scritto io)
uffa, non riesco a metterlo in forma decente. So che nel triangolo verde ho pendenza F_5/F_3 maggiore di φ e in quello rosso ho F_6/F_4 minore di φ, ma da qui non riesco a mostrare che la differenza di pendenze dà proprio 1. O meglio, lo so fare perché il rettangolo nel primo pseudotriangolo (parte gialla, blu e quadretto vuoto) ha area F_3*F_6 e quello nel secondo pseudotriangolo F_4*F_5; scrivendo in entrambi il numero di Fibonacci maggiore come somma dei due precedenti, abbiamo che F_4*F_5 – F_3*F_6 = -(F_3*F_4 – F_2*F_5) da cui si arriva alla differenza 1 continuando ad applicare la formula, però non sto usando direttamente la formula indicata…
Direi che l’identità che cerchiamo è quella di d’Ocagne
F_m F_{n+1} – F_{m+1} F_n = (-1)^n F_{m-n} per n=m-2, ossia:
F_m F_{m-1} – F_{m+1} F_{m-2} = (-1)^m
che è quella che stiamo cercando e che in effetti si può ricavare anche dall’altra. Infatti, da
F_m F_m – F_{m+1}F_{m-1} = -(-1)^m
si ottiene dalla formula di ricorsione
F_m (F_{m+1}-F_{m-1}) – F_{m+1}(F_m-F_{m-2}) = -(-1)^m
da cui semplificando
F_m F_{m-1} – F_{m+1}F_{m-2} = (-1)^m.
Però appunto c’è un pochino di lavoro da fare.