746 – aritmetica
Considerate la successione 4, 7, 1, 8, 9, 7, 6, …, dove a partire dal terzo termine il termine di posto n è la somma modulo 10 dei due precedenti. Se Sn è la somma dei primi n termini, qual è il primo valore di n per cui Sn è maggiore di 10000?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p746.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema dall’AMC 2002 12A)
@notiziole
Estas nur 100 duopoj, de ciferoj, do la sinsekvo devas esti perioda.
Se mi ne malbone kalkulis, la periodo estas 12, kaj la sumo de la ciferoj de la periodo estas 60.
Do 166 dekduopoj donas 9960. Plus 4, plus 7, plus 1…
1999, ĉu?
Avevo provato, per non copiare troppo, la sequenza di Fibonacci, partendo dai canonici F(0)=0 (zero) e F(1)=1 (uno), trascrivendo solo le unità dei valori successivi nella sequenza, notando che la sequenza [ 0 , 1 ] si ripete ad un certo punto, cioè F(58) finisce con 9, F(59) finisce con 1, poi F(60) finisce con 0 e F(61) finisce con 1, e riparte quindi un altro ciclo.
Qualsiasi altra coppia di cifre vengano scelte come inizio della sequenza si trova prima o poi la posizione in cui le ultime cifre si ripetono ordinatamente.
Se si usano solo cifre pari usciranno poi sempre cifre pari quindi il ciclo si ripete più rapidamente, ma poi si nota che la sequenza [ 1 , 2 ] si ripropone con la stessa frequenza di [ 0 , 1 ] mentre [ 2 , 1 ] è molto più rapida.
Anche [ 4 , 7 ] si ripete più rapidamente di altre combinazioni, formando la successione
4 , 7 , 1 , 8 , 9 , 7 , 6 , 3 , 9 , 2 , 1 , 3 , [ 4 , 7 , … ]
Al termine del primo ciclo la somma vale 60, al termine del secondo vale 120 e così via, pertanto non è difficile trovare quando si arriva a, quant’era? Sì, quella cifra là.
(mi verrebbe da dire 3984+7, ma naturalmente s.e.&o. )
:-) Ecco appunto, dovrebbe essere la metà del primo numero, ma il +7 mi torna, perché mancava proprio quel numero là, quello che tutti devono sapere, per superare la quota stabilita.
Ogni ciclo è composto da 12 numeri che danno come somma 60. occorrono dunque 166 cicli completi+ i primi 7 numeri che danno come somma 42 n=1999