723 – geometria
La finestra gotica disegnata in figura è composta da due archi di cerchio rispettivamente di centro A e raggio AB e di centro B e di raggio BA che si intersecano in un punto C; due semicerchi di raggio 1 costruiti sul segmento AB verso l’altro, e un cerchio di centro F sull’asse di simmetria del disegno e tangente ai due semicerchi e agli archi di cerchio. Qual è la lunghezza r del raggio di quest’ultimo cerchio?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p723.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Mind Your Decision.)
Consideriamo il triangolo isoscele DEF:
DO=EO=1
DF=EF=1+r
FO²=DF²-DO²=(1+r)²-1
Consideriamo il triangolo isoscele ABF:
AO=BO=2
AF=BF=4-r
FO²=AF²-AO²=(4-r)²-4
Uguagliando le due espressioni per FO²:
(1+r)²-1=(4-r)²-4
r²+2r=r²-8r+12
10r=12
r=12/10=6/5
L’osservazione principale da fare è che, detto T il punto di tangenza tra l’arco BC e la circonferenza di raggio r, i punti A, F, T giacciono sulla stessa retta.
Ciò perché FT e AT sono entrambi segmenti perpendicolari alla stessa retta (la tangente comune ai due cerchi) per lo stesso punto T.
A quel punto si può usare due volte Pitagora.