Viviamo in un mondo di fake news. Non vi è mai venuto in mente che anche in matematica possiamo avere qualcosa di fake? (Ho usato farlocco nel titolo per non scriverlo in inglese). James Propp in questo post ha definito “fake number lines” le linee dei numeri che sembrano essere giuste, ma in realtà non funzionano.
Ma facciamo un passo indietro: già il concetto di “linea dei numeri” non è mica così semplice come sembra. È vero che qualcuno potrebbe pensare che i greci ce l’avessero in mente, visto che associavano a ogni numero un segmento proporzionale a uno specifico segmento dato, ma questa è una nostra razionalizzazione a posteriori, ma non è esattamente così. Tutto il loro armamentario serviva semplicemente per confrontare due numeri, ma a nessuno di loro è venuto in mente di prendere “tutti i numeri” e costruire una linea che li contenesse. (Notate le virgolette…) Questo perché la cosa avrebbe cozzato contro il loro mantra per cui non è possibile considerare in un colpo solo tutti i numeri, o anche solo tutte le frazioni tra 0 e 1: esse sono un numero infinito, e l’infinito attuale era verboten. Tutto quello che si poteva fare è dire che si poteva avere una moltitudine maggiore di una qualunque moltitudine data. Ciò dovrebbe farvi intuire che il fatto che noi diamo per scontato il concetto di linea dei numeri è un risultato davvero incredibile, una delle grandi conquiste della matematica.
Ma guardiamo la linea dei numeri in un modo diverso. Cosa succede se cominciamo a tagliarla a pezzetti? Se i suoi punti sono discreti, degli “atomi”, a un certo punto arriviamo ad avere un atomo, che per definizione è indivisibile, e abbiamo un problema. Se i punti sono continui, il problema è cosa succede sul punto esattamente sotto la lama di taglio, che immaginiamo essere puntiforme. Non per nulla Aristotele non voleva l’infinito assoluto: in questo modo poteva dire che tagliava la retta, lasciava il punto di taglio da una parte e non si preoccupava di cosa succedeva dall’altra parte. Peccato però che ci siano tante linee farlocche. La più nota è quella dei razionali, ma potremo per esempio usare i numeri diadici, quelli che si ottengono continuando a dividere a metà l’unità, o più prosaicamente i numeri che in formato decimale hanno un numero finito di cifre. In entrambi questi esempi non riusciamo a trovare il punto corrispondente a 1/3, anche se possiamo avvicinarci a piacere a esso (sempre l’infinito potenziale!)
Nel suo post, Propp spiega che l’assioma di completezza creato da Richard Dedekind, e che sostanzialmente afferma
“Se tutti i punti di una retta si dividono in due classi disgiunte, in modo tale che ogni punto della prima classe è a sinistra di ogni punto della seconda classe, esiste uno e un solo punto che produce questa divisione, tagliando la retta in due porzioni”
(l’unicità non è un problema, se ce ne fossero due potremo trovare un terzo punto in mezzo che non può stare da nessuna delle due parti) è una fregatura che ci costringe a buttare via tutte queste linee farlocche. Guardate il disegno qui sotto:
Dove può stare il punto p? O nella parte sinistra o nella parte destra, non ci sono dubbi. Ma questo significa che dobbiamo averlo anche nel caso in cui nei nostri esempi sopra cerchiamo 1/3, oppure nel caso dei numeri razionali cerchiamo la radice cubica di 2 (per la radice quadrata varrebbe lo stesso, ma quella almeno riusciamo a disegnarla). Nella versione che vediamo solitamente del taglio di Dedekind il punto è al di fuori del taglio: per esempio possiamo avere tutti i numeri che elevati al cubo sono minori di 2 e quelli che elevati al cubo sono maggiori di 2. Ma la cosa non cambia: l’assioma di completezza ci costringe a dire che quel punto esiste. Insomma, se vogliamo una linea dei numeri ben fatta siamo costretti ad avere i numeri reali. Carino, no?
Nuovo libro di Rocco Dedda, che stavolta si assume il compito improbo di spiegare a cosa serve tutta la matematica che si studia alle superiori. Troviamo così cinque sezioni: numeri, forme, rapporti, equazioni e funzioni, tutti composti da brevi capitoli e terminanti con “l’angolo del prof”, un’ottima idea perché Dedda può uscire dalla parte più prettamente di spiegazione e avere uno sguardo più ad ampio raggio su cosa facciamo davvero con la matematica, anche quando non ce ne accorgiamo. Credo che il risultato finale sia ottimo, e tra l’altro – cosa non scontata, vi assicuro – permette anche di avere una comprensione migliore della fisica insegnata alle superiori, che nella mia esperienza di genitore di due studenti delle superiori è davvero qualcosa di ancora meno afferrabile della matematica. L’unica mia remora è sul fatto che molto spesso, soprattutto nella prima parte, ripete che sta semplificando oppure tralasciando qualcosa, perché complicherebbe la lettura. Credo che questo mettere le mani avanti sia controproducente: il lettore tipico, lo dice anche Dedda, è semplicemente curioso, sia esso un adulto che voglia finalmente capire cos’è davvero la matematica oppure uno studente che vuole trovare qualche senso in ciò che gli tocca studiare; e gli insegnanti – la terza categoria di lettori – si spera sappiano applicare con un pizzico di sale le spiegazioni giustamente semplificate… Occhei, temo che molti professori (non Dedda!) potrebbero avere dei problemi, ma non credo che loro leggeranno il libro. Se vi ritrovate nelle prime due categorie, invece, prendetevi questo libro. Vi assicuro che Dedda spiega meglio di me la matematica!