Nell’Europa continentale i formati per la carta sono stati standardizzati da parecchio. I più noti sono gli An; un foglio di carta A0 ha un’area di un metro quadro, e se dividi a metà un foglio Ak ottieni due fogli A(k+1). Il formato non è molto bello come proporzioni, ma questa sua proprietà di essere simile a sé stesso una volta dimezzato lo rende così utile che si passa sopra questa sua bruttezza.
La settimana scorsa Zar ha chiesto a un gruppetto di amichetti come avrebbero fatto una “dimostrazione senza parole” (un disegno autoesplicativo) che dimostrasse che condizione necessaria e sufficiente per avere quella proprietà è che i due lati del rettangolo siano in rapporto 1:sqrt(2) tra di loro.
La mia dimostrazione è indicata qui a fianco (il sorgente Geogebra è qui): vi piace? è comprensibile? la fareste in modo diverso?
Le regole del gioco sono spero chiare: non ci deve essere null’altro se non il disegno, al più è possibile indicare graficamente che certi angoli oppure certi segmenti sono uguali mettendoci un apposito segnetto.
Aggiornamento: (28/10) Gnugnu mi ha mandato quella che secondo me è la dimostrazione definitiva, da lui denominata “3×2”. Eccola qua.

Ultimo aggiornamento: 2010-10-26 07:00

Grazie alla condivisione di Zar di un post di MarkCC, ho potuto deliziarmi con questo esempio di FAIL, tratto chiaramente da FailBlog. Per chi non lo conoscesse, FailBlog raccoglie immagini di cose e azioni evidentemente sbagliate, per fare quattro risate. In questo caso la risata è doppia, perché nei commenti di FailBlog sono in tanti a chiedersi “embè? che c’è di sbagliato?”
Per chi non può o non vuole vedere l’immagine qui sopra, c’è un problema (con tre stelle, quindi definito molto difficile da chi ha preparato i fogli del test) che dice “Maria ha impiegato 10 minuti per segare in due parti una tavola di legno. Se lavorerà alla stessa velocità, quanti minuti le occorreranno per segare un’altra tavola in tre parti?” Il malcapitato studente (uso il maschile perché la calligrafia mi sembra maschile, ma potrebbe benissimo essere una studentessa) ha risposto “20” e l’insegnante gli ha cassato la risposta, spiegando che se per due pezzi ci vogliono 10 minuti allora per quattro pezzi ci vorranno 20 minuti e quindi per tre pezzi bastano 15 minuti.
I miei ventun lettori sono molto intelligenti; magari a primo acchito avrebbero risposto anche loro “15 minuti” ma sapendo che c’è qualcosa sotto si saranno messi a pensarci su e avranno capito cosa c’è sotto senza continuare a leggere due righe sotto.. No, la risposta non è come quella di un commentatore di MarkCC che scherzando dice “magari la seconda tavola era larga solo il 75% della prima?”. Molto semplicemente, per segare in due parti una tavola basta un singolo taglio, e per segarla in tre ne occorrono due, quindi lo studente aveva ragione e l’insegnante torto marcio, il che non è affatto bello come esempio per le nuove generazioni.
A questo punto è giunto il momento di un coming out. In un compito di matematica alle medie dovevamo trovare l’area di una tovaglia che copriva un tavolo quadrato di lato un metro, sapendo che la tovaglia pendeva di 15 cm per lato. Io ho subito detto “beh, il perimetro del quadrato è 4 metri, quindi la parte che non sta sul tavolo ha un’area di 0,6 m² e l’area totale è di 1,6 m²… Insomma, il FAIL è sempre in agguato!

Ultimo aggiornamento: 2010-10-07 09:54

Stamattina (all’ora ufficiale 09:29, nel caso non ve ne siate accorti) i Rudi Matematici hanno presentato l’edizione numero 29 del Carnevale della Matematica. Annuncio semplicemente la new entry Mariano Tomatis, ricordo che Popinga ospiterà la numero 30, e che sono aperti i posti per avere la gioia di tenere da voi un’edizione del Carnevale (per scrivere un post per il Carnevale c’è sempre tempo!)

Ultimo aggiornamento: 2010-09-14 12:15

Ecco un simpatico giochino che ho trovato sul blog del New York Times Wordplay (che una volta la settimana invece che le parole usa i numeri…)
Nel disegno qui sopra vediamo un cannone ideale che spara una palla ideale che colpisce un riflettore ideale. Il cannone è posizionato a 45 gradi; il riflettore è esattamente alla stessa altezza della bocca del cannone. Il problema chiede qual è l’angolo a cui bisogna mettere il riflettore per far sì che la nostra palla rimbalzi e ritorni nella bocca del cannone, con un effetto Vile E. Coyote. Essendo tutto ideale, non ci sono perdite per attrito o cose del genere, ve lo dico subito.
Come sempre, lasciate una bella scritta SPOILER per non rovinare il divertimento agli altri lettori!

Ultimo aggiornamento: 2010-09-08 07:00

Tutti voi conoscete la favola della Bella Addormentata, immagino. Quello che forse non sapete è che ultimamente, a causa della crisi che colpisce anche i Principi Azzurri, la fanciulla è stata costretta a cercare un lavoro; date le sue indubbie qualità è finita a fare la cavia in un esperimento scientifico.
Una domenica sera viene somministrato a Bella (non sapevate che era il suo vero nome?) una droga che la fa dormire profondamente. A questo punto i ricercatori lanciano in aria una moneta (equa). Se il risultato è testa, viene svegliata dopo ventiquattr’ore (quindi lunedì sera), intervistata e mandata a casa. Se invece il risultato è croce, viene ugualmente svegliata dopo ventiquattr’ore e le viene fatta una domanda; ma poi le viene nuovamente somministrata la droga. Il martedì sera viene nuovamente svegliata, le si fa una domanda, e la si manda a casa. Nessun paradosso con l’infinito, insomma: o ha dormito un giorno e le è stata fatta una domanda una volta, oppure ha dormito due giorni e le hanno fatto una domanda per due volte.. Dimenticavo: un effetto collaterale della droga è una leggera amnesia, quindi Bella non sa assolutamente che giorno sia, e se è la prima o la seconda volta che è stata svegliata. La domanda è la seguente: «Qual è secondo te la probabilità che il lancio della moneta abbia dato come risultato croce?»
È chiaro che dal punto di vista della Bella Addormentata la risposta non può che essere 1/2: non ha certo nessuna informazione in più rispetto a prima. Ma è anche chiaro che se l’esperimento fosse ripetuto mille volte, in media avremo cinquecento sveglie singole e cinquecento doppie, quindi le vengono fatte 1500 domande, e in mille di questi casi è uscita croce. Quindi la risposta non può che essere 1/3. Ma ancora, se prendiamo il punto di vista dei ricercatori, la risposta non può che essere 1/2: la moneta è sicuramente equa, no? (Notate che se la domanda fosse stata «Qual è secondo te la probabilità che oggi sia lunedì?» la risposta sarebbe stata indubbiamente 2/3, ma quella è una domanda diversa.)
Questo è noto come paradosso della Bella Addormentata: è stato ideato nel 1994 da Arnold Zuboff e Adam Elga, e trovate una rapida trattazione su Wikipedia in inglese. Qual è la vostra soluzione?

Ultimo aggiornamento: 2010-07-03 07:00

Questo mese il Carnevale della Matematica è ospitato da Gianluigi Filippelli nel suo Science Backstage; il tema non ufficiale è “A spasso con zio Bertie”, e i contributori erano stati invitati a scrivere qualcosa su Russell e la logica matematica. Andate subito a leggerlo, poi se avete voglia tornate qui che vi devo spiegare il mio post di sabato.
Non sapendo io esattamente che scrivere su Russell, mi è venuto in mente di riciclare quanto scritto da Hofstadter nel capitolo 11 di Anelli dell’io, quando passa dalle analogie alla trattazione del Teorema di Indeterminatezza di Kurt Gödel. Come forse sapete, Gödel ha praticamente buttato a carte quarantotto il sistema formale preparato da Bertrand Russell e Alfred Whitehead, i Principia Mathematica. Le due opere inesistenti citate sono entrambe analogie umoristiche sul procedimento da lui seguito; ci sono vari indizi che il lettore abile può ritrovare. Il “negozio tipico” ricorda la teoria dei tipi sviluppata da Alf e Bertie, e il nome della scrittrice, “Rossella Wadhead”, si pronuncia in modo simile a “Russell and Whitehead”, esattamente come succede con “W.A.I.Ted Enrustle” e “Whitehead and Russell”. Il dire una frase mentre si vuole significare l’opposto è l’equivalente dell’affermazione matematica che afferma la sua non dimostrabilità, e infatti viene pronunciata da “K.G.”. Nell’altra opera, il Principe Ippia – Matedrammatica sono ovviamente i Principia Mathematica, che parla per l’appunto di noiose proprietà dei numeri primi, che però possono essere lette – con la mappa creata da Kurt Gödel, pardon dal critico Gerd Külot, che è di origine TURKa – come proprietà sul libro in sé. Ci sono altri giochi di parole all’interno di quel capitolo, ma bisogna aver letto il resto del libro per coglierli e quindi qui li ho saltati: spero che comunque abbiate apprezzato questa presa in giro hofstadteriana del povero zio Bertie!
Aggiornamento: (17:30) vi ricordo che il Carnevale n. 27 sarà ospitato dal sottoscritto: non qua, però, bensì sul blog di matematica sul Post.

Ultimo aggiornamento: 2010-06-14 10:43

Eccovi qualche problema matematico molto semplice, alla portata davvero di tutti. Le risposte lunedì nei commenti: se volete rispondere voi, ricordate di iniziare il vostro commento con SPOILER:
1) Quant’è la metà dei due terzi dei tre quarti dei quattro quinti dei cinque sesti di 12?
2) Se riflettete un certo numero da destra a sinistra oppure lo ruotate di 180 gradi ottenete 11. Ma il numero non è 11. Qual è il numero?
3) Un automobile (indicata con ??) ha coperto il numero del parcheggio dove si è posizionata. Da qua vedo questi numeri:
(16 – 06 – 68 – 88 – ?? – 98)
Qual è il numero del parcheggio dove si trova l’auto?
4) Nella somma 43+57=207, ciascuna cifra è distante esattamente un’unità da quella corretta. Qual è la somma corretta?
5) Se Cesare ha ordinato 40 toghe extra-large e 50 toghe large, quante toghe di taglia medium ha ordinato?
(tratto da David J. Bodycombe, The Riddles of the Sphinx)

Ultimo aggiornamento: 2010-05-28 07:00