Il fatto che la radice quadrata di 2 sia irrazionale (cioè non è esprimibile come rapporto tra due numeri naturali) è noto almeno dai tempi dei pitagorici. La dimostrazione si fa normalmente mostrando che se p/q = √2 allora p²/q² = 2, e quindi p² = 2q² poich’é il quadrato di un numero dispari è ancora dispari, p deve essere pari e quindi scrivibile come 2r. Ma allora 4r² = q², quindi anche q dev’essere pari e quindi scrivibile come 2s. Solo che non si può continuare all’infinito a dimezzare numeri naturali…

Ho visto questo tweet di Math Lady Hazel con una dimostrazione completamente diversa, e bellissima.

Innanzitutto, sappiamo che √2 < 2, perché elevando al quadrato abbiamo 2 < 4. Supponiamo ora che √2 sia razionale: allora esistono infiniti numeri che moltiplicati per √2 danno un numero naturale come risultato. Sia k il più piccolo di questi numeri. Si ha che k·(√2−1)·√2 = 2k − k√2 è per costruzione un numero naturale, e pertanto anche k·(√2−1) è un numero tale che se moltiplicato per √2 dà un naturale come risultato. Ma dato che √2−1 è minore di 1, l’ipotesi che k fosse il minore di quei numeri è falsa. QED :-)

Ultimo aggiornamento: 2023-01-16 22:47

Gianluigi Filippelli ha segnalato questo articolo di Quanta che parla di come si può sfruttare la matematica in Wordle. Ci sono vari spunti interessanti, come la differenza nella prima parola scelta tra un computer che può calcolare l’albero di tutti i possibili tentativi e un umano che preferisce avere degli appigli e quindi spesso usa una parola con tante vocali (ma ADIEU e AUDIO funzionano peggio di RAISE, e tra l’altro ieri è proprio uscita NAÏVE che era uno degli esempi fatti nel testo e indovinabili quasi subito). È anche interessante che per un computer avere solo lettere gialle (presenti, ma in altre posizioni) anziché solo lettere verdi (presenti in quella posizione) aumenta il numero medio di tentativi richiesti solo del 5%.

Si può poi usare la statistica per vedere se i risultati cumulativi ottenuti da un gruppo di amici implicano che si stia barando. Secondo l’autore Pradeep Mutalik, un bravo giocatore ottiene un birdie (trovare la parola in tre tentativi, il par è 4) ogni 2,5 partite in media, un eagle (trovarla in due) ogni 40 partite e un hole-in-one ogni 2000 partite. Io vado molto peggio, ve lo assicuro. Bene: applicando regole statistiche si possono analizzare i risultati e vedere se sono troppo distanti da quanto ci si aspetta; per esempio 15 o più punteggi consecutivi sotto 4 sono sospetti. È però vero che le parole del giorno compaiono in un ordine ben preciso: anche senza sbirciare la successiva, ma tenendo solo conto di quelle già uscite, si può migliorare il punteggio verso la fine dei cinque anni in cui la lista viene esaurita. (Di nuovo, io non mi ricordo la parola del giorno dopo due ore…) Come fare per rendere più casuale la parola del giorno? Una proposta è quella di vedere quanti hanno risolto Wordle un’ora prima della scadenza della parola, prendere il valore modulo il numero delle parole possibili e scegliere quella corrispondente nell’ordine. Ovviamente si potrà sempre barare, ma almeno bisognerà aspettare che la nuova parola appaia nel gioco!

Alessandro Gentilini mi ha fatto conoscere la seguente mnemonica attribuita al fisico Marcello Ceccarelli, uno dei fondatori del Radio Telescopio di Medicina (BO):

Tre imperfettibile è degno archetipo di quella serie che svela, volgendo, circolari sublimi relazioni.

La cosa interessante di questa mnemonica è che per indicare il “14” che segue il 3 non si usano una parola di una lettera e una di quattro, ma una di quattordici lettere…

Le domande qui sopra arrivano da una scheda di verifica del National Centre for Excellence in the Teaching of Mathematics. Nella prima, si afferma che 1074183 è un multiplo di 11 (è vero, non preoccupatevi) e si chiede di scrivere i tre multipli di 11 successivi; fin qua nulla di particolare. Anche la seconda domanda non dà problemi: le cifre del numero sono riordinate, ottenendo 3817401 che è un multiplo di 7; si chiede di scrivere i tre multipli di 7 successivi precedenti. I guai arrivano con la nuova permutazione delle cifre, che dà 1813047 che è un multiplo di 3: la domanda è stavolta “scrivete i tre multipli di 6 immediatamente successivi a questo numero”. Siete capaci di trovarli?

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Ultimo aggiornamento: 2022-11-18 16:54

Occhei, il governo non li fa più giornalieri ma settimanali, perché – almeno secondo il Post – “considera la pandemia ormai finita e quindi ritiene che i giornali non debbano più pubblicare l’aggiornamento quotidiano dei numeri relativi al Covid, soprattutto il conto dei contagiati.” Però mette i dati giornalieri.

A differenza degli amici del Post, però, non mi pare affatto “strana e difficile da spiegare” la scelta di pubblicare nell’appuntamento settimanale i dati quotidiani. Per due anni e mezzo, assieme a un piccolo manipolo di divulgatori, ho detto che confrontare i dati giornalieri non aveva senso, perché quelli della domenica e soprattutto del lunedì erano falsati dal weekend. E in effetti le infografiche più serie usavano la media mobile a sette giorni proprio per compensare queste differenze strutturali. Avere tutti i dati giornalieri, anche se con un ritardo fino a sei giorni, è comunque sufficiente per fare delle analisi strutturate. Ricordate che un’ondata ha un andamento inizialmente esponenziale, e occorre un certo numero di valori per capire se c’è davvero una crescita che può essere esponenziale: una settimana di ritardo non è la fine del mondo, senza contare che visto che è il ministero che dovrebbe prendere provvedimenti e loro i dati ce li hanno tutti i giorni possono tranquillamente fare qualcosa per conto loro, senza aspettare i data analyst da tastiera come me. Sarebbe stato molto peggio se il overno avesse scelto di pubblicare solo report settimanali!

(Ah: in effetti, guardando l’URL, devono avere avuto dei ripensamenti anche al Post. Il titolo originale parlava infatti di “pasticcio”, non di “contraddizione”…)

Internazionale (dietro paywall) racconta di come DeepMind abbia trovato un algoritmo per moltiplicare due matrici migliore di quelli umani: in realtà, se leggo bene l’abstract di questo articolo, due ricercatori si sono affrettati a postare un articolo dove hanno eguagliato quel record e leggermente migliorato il risultato di DeepMind rispetto a un altro record correlato. Forse è meglio però fare un passo indietro per capire di cosa si sta parlando.

Molti tra gli algoritmi più costosi dal punto di vista computazionale richiedono di moltiplicare delle matrici molto grandi, che danno le approssimazioni dei valori di una funzione su una superficie. Se non lo sapete, le matrici sono pacchetti rettangolari o spesso quadrati di numeri: nel caso del prodotto di due matrici quadrate n×n si ottiene una nuova matrice n×n dove per ottenere l’elemento nella riga i e colonna j del prodotto bisogna prendere il primo, secondo, terzo… elemento della riga i della prima matrice, moltiplicarlo per il primo, secondo, terzo… elemento della colonna j della seconda matrice, e sommare tutti questi risultati. Come potete immaginare, un lavorone, soprattutto per matrici di migliaia di righe e colonne da moltiplicare in quantità esagerate.

I matematici si erano messi il cuore in pace, e pensavano che per moltiplicare due matrici n×n occorresse un numero di moltiplicazioni dell’ordine di n³; insomma se si voleva raddoppiare la dimensione delle matrici, cioè raddoppiare i punti sulla superficie per avere un’approssimazione migliore, occorrevano otto volte tante operazioni. Nel 1969 però il matematico tedesco Wolker Strassen se ne uscì con una notizia bomba. Prese due matrici 2×2 e fatto qualche trucchetto con i numeri, se accettavamo di eseguire un numero di addizioni molto maggiore sarebbero bastate sette moltiplicazioni anziché otto. In pratica l’algoritmo di Strassen sfrutta una struttura nascosta del prodotto; le addizioni servono per riciclare una delle moltiplicazioni in due punti diversi del prodotto delle matrici.

Negli anni seguenti ci fu un fiorire di nuovi algoritmi che per matrici molto grandi miglioravano il numero di operazioni necessarie; per un certo periodo anche il mio professore di metodi di approssimazione a Pisa detenne il record. Le sette moltiplicazioni per il prodotto di due matrici 2×2 resistono ancora, così come resisteva fino a poco fa il record di 49 moltiplicazioni per il prodotto di due matrici 4×4, ottenuto applicando ricorsivamente l’algoritmo di Strassen. Bene: DeepMind ha trovato un modo per moltiplicare due matrici (di numeri binari) 4×4 in 47 operazioni e uno per moltiplicare due matrici 5×5 in 96 operazioni anziché 98; e Kauers Moosbauer hanno trovato un modo equivalente per le 4×4 e uno con solo 95 operazioni per le 5×5. I due ricercatori hanno anche detto che ci stavano lavorando su da un po’ e si sono affrettati a pubblicare il preprint prima che qualcun altro li fregasse sul tempo :-)

In tutto questo, la cosa più inquietante, come già successo in passato per esempio con il Go, è il metodo usato da DeepMind per ottenere il suo risultato. Leggendo l’articolo di NewScientist, vediamo che il “programmatore” di DeepMind – o meglio chi ha messo su tutto il macchinario in questione – ha affermato che “essenzialmente non abbiamo idea di come mai il sistema è arrivato a questo risultato”. “In qualche modo le reti neurali hanno avuto un’intuizione di cosa sembrava buono e cosa sembrava cattivo, ma onestamente non posso spiegare esattamente come funziona”, ha continuato. Perlomeno i due ricercatori hanno spiegato qual è la loro linea di attacco (tendenzialmente fare modifiche più o meno a caso e vedendo se portavano a eliminare una moltiplicazione.

A differenza del go, in questo caso i risultati di DeepMind sono facilmente verificabili e quindi validi a tutti gli effetti. Certo però che questo è un duro colpo per la matematica: non perché un computer sia stato più bravo di noi, quanto perché contribuisce a distruggere la certezza che la matematica sia un modo “compatto” per processare le informazioni. Avete presente la dimostrazione del teorema dei quattro colori? Ecco, il concetto è quello. Sapere che ogni mappa sul piano è colorabile con solo quattro colori, ma che non c’è una vera ragione logica e bisogna per forza testare una caterva di esempi per verificare che tutti portino a una mappa a quattro colori, per noi esseri umani è una risposta a metà. Non ci basta il cosa, vogliamo anche il come.