La matematica che faccio io, qui sul blog o comunque in giro, è sempre “di basso livello”: per quanto strano possa sembrare, non sono mai stato molto bravo con la teoria, e mi trovo più a mio agio con la pratica. Pratica matematica, d’accordo, che per chi matematica non ne fa è già abbastanza astrusa di suo, ma comunque relativamente meno teorica.
Bene, leggo su Ars Mathematica di un teorema, di cui confesso non capire una singola parola tecnica dell’enunciato, che è stato “dimostrato” in questo modo.
(a) Il teorema viene dimostrato supponendo che sia vera l’ipotesi del continuo. (Ipotesi che, come scrivevo qua, si può accettare oppure rifiutare senza che la matematica crolli; quindi fin qua siamo a una dimostrazione per così dire in ambito ristretto)
(b) Dimostrano un metateorema, che dice più o meno “per tutti i teoremi di una certa forma – teoremi tra i quali c’è il nostro – se esiste una dimostrazione che richiede l’ipotesi del continuo allora esiste un’altra dimostrazione che non ha bisogno dell’ipotesi del continuo”… ça va sans dire, la dimostrazione non è costruttiva, ma si limita a dire che una qualche dimostrazione deve esistere, senza mostrarla.
(c) Dal “teorema ristretto” (a) e dal metateorema si ottiene la dimostrazione del nostro teorema.
Essendo buono, vi faccio un paragone terra-terra :-) che dovrebbe rendere l’idea.
Teorema: una persona può andare per strada da Milano a Torino.
Dimostrazione: (a) se supponiamo che questa persona possieda un mezzo cui è permesso di percorrere le autostrade, c’è un’autostrada Milano-Torino: lui la prende ed è a posto. (b) Per tutti i tratti autostradali esistenti, si sa che esiste un’altra strada che non è un’autostrada, e che ha lo stesso percorso dell’autostrada corrispondente. (c) Quindi deve esistere una strada normale da Milano a Torino. QED.
Messa così, in effetti, la cosa ha un po’ più senso, almeno per me (e sono fiero del paragone!). Resta il fatto che a certi livelli a mio parere non si fa più matematica ma metafisica, e che uno inizia a capire il punto di vista di Brouwer quando si è scocciato delle dimostrazioni di semplice esistenza e ha iniziato a pretendere che si può parlare di matematica solo quando costruisci il tuo risultato.
Ultimo aggiornamento: 2007-10-09 10:54
Via Draco Roboter, un quisss per perdere poco tempo. In realtà lui ne posta due, ma sono ragionevolmente certo di avere fatto il primo una vita or sono, e mi sono dedicato al secondo, che afferma che sarei Purista (occhei), Esperto (occhei) e Sociale (e qua qualche dubbio ci sarebbe anche), con un punteggio relativo come segue: Avidità -5, Esperienza 3, Socievolezza 1. Lascio a voi decidere quanto la cosa combaci con le mie caratteristiche, e mi affretto ad aggiungere che non parteciperò affatto al BlogAction Day, giusto per dire quanto sono sociale!