È morto Paul Cohen | [matematica_light] |
(Nota: se sei arrivato qua con un motore di ricerca, ti conviene guardare la versione riveduta...)
Ho trovato casualmente la notizia qui, ma non sono riuscito a trovare nessuna conferma in giro. (beh, no, wikipedia lo indica)
Cohen è noto tra i matematici per avere dimostrato che l'ipotesi del continuo è indipendente dagli assiomi usuali per l'aritmetica... Occhei, ricominciamo da capo.
Poco più di cento anni fa, Georg Cantor ha deciso che l'infinito matematico non era una semplice convenzione, ma che esisteva davvero. Detto in altre parole, si poteva dare una definizione sensata dell'infinito: un insieme che può essere messo in corrispondenza biunivoca con una sua parte propria. I numeri interi sono insomma infiniti perché possiamo dire che i numeri pari sono tanti quanti gli interi, associando a ogni intero n il numero 2n. Poi, con l'argomento diagonale, Cantor si è accorto che i numeri reali sono più degli interi, e quindi che esisteva più di un infinito: per la precisione ce ne sono infiniti.
A questo punto restava un dubbio: l'infinito corrispondente ai numeri reali è quello "subito dopo" quello corrispondente ai numeri interi, oppure ce ne sono altri in mezzo? L'affermazione per cui l'infinito dei numeri reali è immediatamente successivo a quello degli interi prese il nome di ipotesi del continuo, e fu posta da David Hilbert in cima alla sua famosa lista dei 23 problemi matematici per il XX secolo. (A Hilbert le teorie di Cantor erano piaciute tantissimo, ecco il perché di questa posizione di onore). Il problema rimase inattaccato per vari decenni, fino a che nel 1940 Kurt Gödel, non pago di avere dimostrato che la matematica o è incompleta o incoerente, riuscì a provare che l'ipotesi del continuo non era falsa: insomma, se gli altri assiomi matematici standard sono coerenti, aggiungere l'ipotesi del continuo lascia tutto l'insieme coerente. Gödel tra l'altro era convinto che l'ipotesi del continuo fosse vera; peccato appunto che nel 1963 Paul Cohen dimostrò che anche l'opposto dell'ipotesi del continuo non era falsa. (Notate la tripla negazione della frase...) Il risultato pratico è che uno può decidere di fare matematica accettando l'ipotesi del continuo oppure negandola: piena libertà! Che poi - almeno a quanto ne sappia - nessuno si preoccupi più di tanto della cosa tranne qualche logico matematico non significa nulla...
http://scottaaronson.com/blog/?p=214
Ho letto tutto fino in fondo, e la reazione è stata: eh?
detto ancora in altro modo, Cohen dimostrò che se ti piace puoi pensare che ci siano degli insiemi infiniti più grandi degli interi e più piccoli dei reali, mentre Gödel dimostrò che se ti piace puoi pensare che non ci siano degli insiemi infiniti più grandi degli interi e più piccoli dei reali.
Capisco che rispetto ai dominii .xxx la cosa conti poco (e garantisco che persino il matematico quadratico medio non si preoccupa), ma il concetto teoricamente è molto importante.
Anche io ho letto tutto fino in fondo via feed, poi mi sono connesso ed ho trovato la risposta chiarificatrice in vb.
La mia impressione è che Cohen fosse un altro tizio pieno di sè, tanto quanto Nash, solo meno matto. Bel teorema, per carità, ma dopo si è messo a sedere e si è riposato.
Colgo l'occasione per citare la definizione di Aaronson di matematico: un matematico è una persona che legge libri gialli (yellow books). Per un po' sei stato un matematico anche tu :-).
Credo di averne letto solo uno :-)
Quale delle due, l'ipotesi del continuo o la sua negazione, e' la "verita'" che noi "esseri umani" possiamo "vedere" e che invece la gelida logica matematica non riesce a dimostrare? :p
:-)
Dipende. Diciamo che avere dei cardinali in mezzo sarebbe divertente (anche se poi rischi di avere i cardinali inaccessibili, che non sono l'opposto di Eminence Ruini ma dei numeri che non sono raggiungibili in nessun modo come limite di successioni di altri cardinali), mentre non averne è molto più pulito.
mi piacciono i tuoi post matematici