778 – teoria dei numeri

Dimostrate che non esiste nessun numero intero m soluzione dell’equazione (m−3)³ + m³ = (m +3)³.

(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p778.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema 30 da Stephen Siklos, Advanced Problems in Mathematics.)

Ultimo aggiornamento: 2025-12-14 10:49

777 – probabilità

Mario e Luigi si sono iscritti al Grande Torneo di ippocastagne di Cortemilia. Lo svolgimento del torneo è molto semplice. Ci sono 64 concorrenti che si affrontano a coppie, ciascuno con una “castagna matta” (quelle degli ippocastani); si fanno sbattere le castagne tra di loro e vince chi riesce a spaccare quella dell’avversario. Il torneo è a eliminazione diretta, ma a differenza per esempio del tennis il tabellone non è definito sin dall’inizio: dopo ogni fase eliminatoria i vincenti vengono accoppiati di nuovo a caso. D’altra parte le castagne sono anche scelte casualmente, e quindi per ogni scontro entrambi i giocatori hanno probabilità 1/2 di vincere. Qual è la probabilità che Mario e Luigi (a) si incontrino nel primo turno; (b) si incontrino in finale; (c) si incontrino in un momento qualunque del torneo?

(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p777.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema 65 da Stephen Siklos, Advanced Problems in Mathematics; immagine di rdevries, da OpenClipArt.)

Ultimo aggiornamento: 2025-12-09 18:09

776 – algebra

I numeri di Fermat sono quelli della forma F_n = 2^(2^n)) + 1. Una congettura di Fermat affermava che se n è primo, allora F_n è primo (“numero primo di Fermat”). I primi numeri in effetti lo sono: F₀ = 3, F₁ = 5, F₂ = 17, F₃ = 257, F₄ = 65537. Peccato che non si conosca nessun altro primo di Fermat. Ma non è questo il problema di oggi. Dimostrate che vale sempre l’uguaglianza F₀F₁F₂…F_k−1 = F_k − 2.

(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p776.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema 28 da Stephen Siklos, Advanced Problems in Mathematics.)

775 – combinatoria

I dodici cavalieri della Tavola Rotonda sono dei buontemponi, e oggi hanno deciso di sedersi a caso per la consueta riunione. Artù fa un rapido controllo e nota che nessuno è seduto al proprio posto. A questo punto si passa al primo punto dell’ordine del giorno: nomina del presidente. Tristano propone di far ruotare la tavola, che è stata costruita in modo da girare a piacere per rappresentare ancora meglio l’uguaglianza: la persona che si troverà al proprio posto sarà il presidente. Persival replica che potrebbe darsi che due o più persone si troveranno al posto giusto, e a quel punto non si saprebbe chi scegliere, ma Lancillotto lo rassicura dicendogli che ha verificato e con la disposizione attuale la cosa non è possibile. Come sono disposti i cavalieri?


(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p775.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema ispirato da Durtles su BlueSky; immagine generata da Copilot.)

774 – algebra

Gli antichi egizi scrivevano le frazioni come somma di frazioni della forma 1/n, dove i denominatori erano tutti diversi; le frazioni di quella forma sono dette frazioni egizie. Per esempio, 2/7 veniva espresso come 1/4 + 1/28. Di per sé ci sono infiniti modi di scrivere una frazione in forma egizia: dimostrate però che se p è un numero primo c’è un solo modo per scrivere 1/p e 2/p (con p maggiore di 2) come somma di due frazioni egizie (con denominatori diversi), notando che 1/p = 1/a + 1/b può essere scritto come (a−p)(b−p) = p²


(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p774.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema 11 da Stephen Siklos, Advanced Problems in Mathematics.)

Ultimo aggiornamento: 2025-11-16 22:37

773 – algebra

Data la catena di equazioni 3 = 2/x₁ = x₁ + 2/x₂ = x₂ + 2/x₃ = x₃ + 2/x₄ = …, quanto vale il termine generico x_n?


(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p773.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema 7 da Stephen Siklos, Advanced Problems in Mathematics.)

772 – teoria dei numeri

Quanti interi maggiori o uguali a 0 e minori di 9261 non sono divisibili né per 3 né per 7? E qual è la loro media aritmetica?


(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p772.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema 4 da Stephen Siklos, Advanced Problems in Mathematics.)