773 – algebra
Data la catena di equazioni 3 = 2/x1 = x1 + 2/x2 = x2 + 2/x3 = x3 + 2/x4 = …, quanto vale il termine generico xn?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p773.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema 7 da Stephen Siklos, Advanced Problems in Mathematics.)
Per il primo termine, x(1), risulta abbastanza evidente che vale 2/3, infatti 2/(2/3)=3 ; in sequenza si può trovare che x(2)=6/7 e x(3) =14/15.
Si potrebbe quindi semplicemente rigirare la generica equazione scrivendo
x(0)=0 ; x(n)=2/(3-x(n-1))
(sì, si potrebbe scriverla meglio, col pedice al posto giusto, ora non ci perdo altro tempo) :-)
Oppure anche come x(n) = 1-1/(2^(n+1)-1)
Verifica: x(0) = 1-1/(2^(0+1)-1) = 1-1/(2-1) = 1-1/1 = 0 : ok;
x(1) = 1-1/(2^(1+1)-1) = 1-1/(4-1) = 2/3 : ok;
x(2) = 1-1/(2^(2+1)-1) = 1-1/(8-1) = 6/7 : ok;
x(3) = 1-1/(2^(3+1)-1) = 1-1/(16-1) = 14/15 : ok (e così via)…
… sempre s.e.&o.