749 – teoria dei numeri
Riprendiamo il numero a caso, 42, del problema precedente. Se ora consideriamo il numero 65, il suo quadrato è 4225, e quindi comincia con il numero che avevamo scelto. Vero o falso: È sempre possibile trovare un quadrato perfetto tale che le sue prime cifre siano quelle di un numero dato?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p749.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Math StackExchange.)
Ultimo aggiornamento: 2025-05-27 12:25
certo, volendo è possibile trovare anche una sequenza di numeri consecutivi arbitrariamente lunga, tale che i loro quadrati inizino tutti con la stessa stringa.
Ho provato a cimentarmi in una dimostrazione:
trovare un numero che cominci con una certa sequenza di cifre e che sia un quadrato perfetto equivale a chiedersi se esiste un numero rappresentato da a1,…,an cifre che vogliamo seguito da k1,…,km cifre qualsiasi, tale che:
a1,…,an,k1,…,km = qq
Ovvero esiste un numero che moltiplicato per se stesso comincia con a1,…,an cifre.
Se a1,…,an = qq + r con r = 0, allora a1,…,an è già prodotto di un quadrato perfetto. Altrimenti, per r > 0, posso aggiungere m cifre, finché a1,…,an,k1,…,km = qq + r con r < k1,…km. A questo punto, se r = 0 abbiamo trovato il nostro numero, altrimenti, se r ≠ 0, a1,…,an,k1,…,km – r = qq. Poiché il numero rappresentato da k1,…,km è minore di r, le cifre a1,…,an non saranno intaccate dalla sottrazione. Questo numero esiste poiché esistono infiniti quadrati perfetti. Quindi per ogni sequenza di cifre posso costruire un quadrato perfetto.
In ogni caso grazie per il problema divertente.
sì, è sostanzialmente la mia dimostrazione!
Nel testo (sia qui che nella pagina dedicata) direi di sostituire “contiene al suo interno” con “inizia con” o simili, sennò è uguale al quizzino precedente :-)
Qui fatto, nella pagina del quizzino devo aspettare di essere a casa…