743 – aritmetica
Sia S un sottoinsieme di {1, 2, 3, …, 49, 50} tale che non ci sia nessuna coppia di elementi distinti di S la cui somma sia divisibile per 7. Quanti elementi può avere al massimo S?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p743.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema dall’AHSME 1992, da J. Douglas Faires, First Steps for Math Olympians.)
* gli otto numeri congrui a 1
* i sette numeri congrui a 2
* i sette numeri congrui a 3
* in più possiamo permetterci un multiplo di 7.
Totale 23.
Ovviamente sono possibili altre soluzioni. Non vedo come si possa fare di meglio, anche se dimostrarlo formalmente richiede un po’ di fatica.
Scegliamo 1-2-3 e scartiamo 4-5-6 che danno 7 se sommati ai primi 3 poi scegliamo 7 e tutti i numeri che eccedono di 1-2-3 ai multipli di 7……