Quizzino della domenica: tennis non transitivo

In azienda da me è appena finito l’annuale torneo di tennis, e mi hanno cooptato per stilare la classifica finale. A differenza dei tornei ufficiali, da noi per far giocare tutti a lungo hanno fatto un girone all’italiana (di sola andata, naturalmente). Guardando i tabellini, ho notato che tutti i partecipanti hanno vinto almeno una partita, al che ho commentato “Ma allora ci sono tre giocatori A, B, C dove A ha battuto B, B ha battuto C e C ha battuto A!” Come mai ne sono certo?

racchette e palla da tennis

(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p712.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema dalle Irish Mathematical Olympiads, via Futility Closet; immagine da SVG Silh)

Ultimo aggiornamento: 2024-09-14 22:15

5 pensieri su “Quizzino della domenica: tennis non transitivo

  1. Valerio
    Spoiler
    Se il torneo è disputato da 3 giocatori, la tesi è banale.

    Sia dunque il numero di giocatori >= 4.

    Poniamo per assurdo che, presi a caso tre giocatori, sia sempre vero che uno di loro batte gli altri due.
    Ad esempio tra A, B e C sia A il più forte.
    Scegliamo un quarto giocatore D e confrontiamolo con A. Le possibilità sono due:
    1. Se A batte D, A batte tutti i giocatori dell’insieme {B, C, D}.
    2. Se D batte A, considerato l’insieme {D, A, B}, D batte anche B (altrimenti c’è il circuito D->A->B->D, contraddizione). Analogamente D batte C.
    Quindi D batte tutti i giocatori dell’insieme {A, B, C}.

    In entrambi i casi, allargando l’insieme iniziale di 3 giocatori a uno di 4, è possibile individuare un giocatore più forte di tutti gli altri.

    Iterando questo procedimento è possibile trovare il giocatore del torneo che batte tutti gli altri, cosa che è in contraddizione con l’ipotesi.

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  2. Valerio

    Più semplice.

    Per assurdo sia falsa la tesi, cioè:
    per ogni insieme T = {x, y, z} di tre giocatori, se x > y e y > z, z non batte mai x. Cioè necessariamente x > z.

    Questa è la definizione di transitività. Per l’arbitrarietà di T come sottoinsieme dei giocatori del torneo, tutto il torneo è transitivo.

    Poiché ogni giocatore gioca con tutti gli altri, la relazione “>” è (o, ponendo x x o x = y, può essere banalmente estesa a) una relazione d’ordine totale.

    Essendo l’insieme finito c’è un elemento minimo, un giocatore che non ha mai vinto, contro l’ipotesi.

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  3. Alexander Poddiakov

    Dear Professor Maurizio Codogno,

    I refer to a section about intransitivity in your book
    Codogno, M. (2014). Matematica in pausa caffè. Codice
    as to an example of popularization of the issue.

    Perhaps, my article can be of interest to you:

    Poddiakov, A. (2024). Are Mathematicians, Physicists and Biologists Irrational? Intransitivity Studies vs. the Transitivity Axiom.
    https://doi.org/10.1007/s42087-024-00442-1
    Full text: https://rdcu.be/dUoNx

    It contains both simple pictures of intransitive pencils and reasonings about impossiblity to place intransitive objects in any metric space of their winningness (real numbers can be assigned to intransitive objects).

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