Forse ricordate che il mese scorso ho raccontato di come la fattorizzazione unica non valga solo per gli interi ma anche per gli interi di Gauss, cioè i numeri della forma $a + bi$ con $a$ e $b$ numeri interi: l’unica differenza è le unità (i numeri invertibili) non sono solo $1$ e $-1$ ma anche $i$ e $-i$. Cosa succede se invece che $i := \sqrt{-1}$ usassimo la radice quadrata di un altro numero primo? Il povero Ernst Kummer, nel 1843, pensò di essere riuscito a dimostrare l’Ultimo Teorema di Fermat in questo modo, ma si accorse presto che non era così. Lui immaginava infatti che tutti gli anelli del tipo $\mathbb{Z}[\sqrt{-p}]$, cioè dei numeri della forma $a + b\sqrt{p}$ con $p$ primo, avessero fattorizzazione unica, ma invece non è così! Se prendiamo $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, per esempio, scopriamo che $21 = 3 \cdot 7 = (1 + 2\sqrt{−5})(1 − 2\sqrt{−5})$, e tutti e quattro questi numeri non hanno nessun fattore diverso da un’unità. Naturalmente i matematici non buttano via mai nulla, e da questo errore Kummer tirò fuori la teoria degli ideali; ma credo che ci rimase comunque male.
Ma quanti sono i numeri per cui la fattorizzazione è unica? Ce ne sono solo nove, e si chiamano numeri di Heegner: 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163. Il bello di questi numeri è che per esempio sono correlati alla ricerca di polinomi che danno tanti numeri primi: il famoso polinomio euleriano $n^2 + n + 41$ che dà numeri primi per $n$ che va da 0 a 39 è per esempio collegato al 163.
Sempre il 163 (funziona anche gli altri numeri di Heegner, ma con questo che è il più grande i conti vengono meglio) ha un’altra caratteristica curiosa. Ramanujan scoprì che $e^{\pi \sqrt{163}} = 262\,537\,412\,640\,768\,743.999\,999\,999\,999\,25\ldots\approx 640320^3+744$. (Martin Gardner, come pesce d’aprile, nel 1975 scrisse che era un intero). Niente male, vero?