Nella figura qui sotto si vede un triangolo rettangolo ABC di cateti AB = 4 e BC = 6, e un semicerchio inscritto in esso, con il diametro sull’ipotenusa e tangente ad AB in D e a BC in E. Qual è il raggio del semicerchio?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p678.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Mind Your Decisions.)
Ultimo aggiornamento: 2024-04-19 17:55
Sembra troppo facile…
I triangoli rettangoli ABC e OEC sono simili (condividono lo stesso angolo in C, l’angolo retto è rispettivamente in B e in E, e quelli in A e in O sono uguali per conseguenza) quindi il rapporto tra OE (che è il raggio) e AB (che è 4) è pari a quello tra OC (che è 6 meno il raggio) e BC (che è 6) :
(( r ) / ( 4 )) = (( 6 – r ) / ( 6 ))
N.B. : il link dell’aiutino non appare (l’immagine non linka nulla) per cui suppongo ci possa essere una soluzione più elegante (e meno elementare) ma questa mi basta.
P.S. : per recuperare il vecchio nomignolo che usavo in precedenza ho rifatto l’iscrizione su WordPress, per cui non coincideranno gli indirizzi mail, ma partono sempre da qui :-)
Naturalmente c’era l’errore nel primo commento: dov’è scritto “pari a quello tra OC (che è 6 meno il raggio) e BC (che è 6)” , doveva essere :
” pari a quello tra DC (che è 6 meno il raggio) e BC (che è 6) ”
Salvo ulteriori errori, ovvio…
Consideriamo i triangoli AOB e BOC. Hanno per base i lati AB e BC, e per altezza r (OD e OE sono perpendicolari ai rispettivi lati del triangolo ABC).
Uguagliando l’area del triangolo ABC con la somma delle aree di AOB e BOC
BC*AB/2 = BC*r/2 + AB*r/2
r=(BC*AB)/(BC+AB)