Non balzate subito alle conclusioni


Le domande qui sopra arrivano da una scheda di verifica del National Centre for Excellence in the Teaching of Mathematics. Nella prima, si afferma che 1074183 è un multiplo di 11 (è vero, non preoccupatevi) e si chiede di scrivere i tre multipli di 11 successivi; fin qua nulla di particolare. Anche la seconda domanda non dà problemi: le cifre del numero sono riordinate, ottenendo 3817401 che è un multiplo di 7; si chiede di scrivere i tre multipli di 7 successivi precedenti. I guai arrivano con la nuova permutazione delle cifre, che dà 1813047 che è un multiplo di 3: la domanda è stavolta “scrivete i tre multipli di 6 immediatamente successivi a questo numero”. Siete capaci di trovarli?

A quanto pare, molti studenti raddoppiano il numero (così è multiplo di 6…) e poi cercano i multipli successivi. Naturalmente basta sommare 3 e arrivare a 1813050 che è contemporaneamente multiplo di 3 e di 2, e pertanto un multiplo di 6; gli altri due sono pertanto 1813056 e 1813062. Non dico che il compito sia alla portata di un bambino delle elementari, ma alle medie sicuramente sì. E allora perché tanti sbagliano? La mia ipotesi è che tendiamo a fare le cose in modo meccanico. Le prime due domande creano una cornice (abbiamo un multiplo di un numero, e dobbiamo trovare i suoi successivi), che viene applicata in modo automatico alla terza. Solo che non si ha a disposizione il valore corretto del multiplo, e quindi si procede a raddoppiare il numero iniziale per avere finalmente un multiplo di 6. Si applica insomma un formalismo che secondo quegli studenti dovrebbe portare alla soluzione.

Il formalismo in matematica è molto utile, e ha permesso di scoprire risultati per nulla immediati. Eulero è stato un campione al riguardo: molti dei suoi teoremi nascono a partire da giochi di prestigio con i numeri, applicando formalmente alle sommatorie infinite le regole usuali nel caso finito. I metodi per il calcolo infinitesimale di Leibniz hanno soppiantato quelli di Newton perché il loro formalismo era più comprensibile ai matematici del tempo. Diciamo che è un’utile scorciatoia che spesso porta alla soluzione: ma in matematica occorre sempre diffidare, e verificare di non essersi persi – o avere aggiunto… – qualcosa per strada. Un esempio banale è la risoluzione delle espressioni. Se ne abbiamo una con le radici quadrate, bisogna elevare al quadrato per togliercele dai piedi, ma poi dobbiamo verificare di non avere aggiunto soluzioni spurie; oppure in un’espressione con l’incognita anche a denominatore potrebbe darsi che una delle soluzioni annulli un denominatore e quindi debba essere scartata. Certo, sarebbe molto più semplice se non ci fossero questi problemi e si potesse bovinamente muoversi passo passo verso la soluzione: ma allora che divertimento ci sarebbe?

4 comments

  1. Boh, sarà che sono matematico, ma quando ho letto “next” mi è subito venuto in mente di aggiungere 3, a moltiplicare per 2 non ci ho proprio pensato.

    E anche a me è sfuggito “previous” nella parte b.

    • a me il previous è continuato a sfuggire fino a questo momento, nonostante l’altro commento. Per il sommare 3, invece, non mi era proprio venuto in mente di fare altro.

  2. io non avevo proprio pensato che il quesito fosse così “banale”; davo come scontato che i risultati richirìesti dovessero essere sempre permutazioni delle stesse cifre