Abbiamo cinque interi positivi tutti distinti a > b > c > d > e, la cui somma è 183. La somma dei tre numeri più grandi è 144, e la somma del più grande e del più piccolo è 68. Qual è la differenza tra il massimo valore possibile di a e quello minimo possibile?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p522.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema adattato da Math StackExchange)
risolto con MiniZinc, senza ausilio computazionale avevo sbagliato, assumendo che e=0 potesse dare la soluzione per a massimo.
Provo a ragionare (col computer non c’è gusto).
Metto giù tutte le informazioni che ho a disposizione:
a>b>c>d>e
a+b+c=144
a+b+c+d+e=183 da cui deduco che d+e=39 (sento di far progressi)
a+e=68
Da una rapida occhiata alle ultime due equazioni, mi sento di poter affermare che a-d=68-39=29; non so se questa cosa mi tornerà utile, ma intanto me la segno.
Partiamo dalla ricerca del minimo a.
144/3=48, quindi la sequenza 49,48,47 è un buon candidato per a,b,c. Resta da capire se esistono un d e un e che soddisfino tutte le equazioni precedenti.
Dato che a+e=68, se a è 49 allora e dovrebbe essere 19.
Poiché d+e=39 allora d dovrebbe essere 20.
Sì… direi che va tutto bene. La sequenza
49,48,47,20,19 è valida e non ci può essere un a inferiore a 49 altrimenti si violerebbe il requisito a+b+c=144 con a intero maggiore di b e c.
Passiamo alla ricerca del massimo a.
Qui la faccenda si fa delicata perché mi viene da provare subito e=0, ma incorro in un bel problema: con e=0 allora d=39
Poiché a-d=29 (eh lo sapevo che mi sarebbe tornato utile) ne risulta a=68.
Peccato però che 144-68 faccia 76 che diviso 2 fa 38! Quindi come faccio a trovare b+c entrambi maggiori di 39 e che sommati facciano 76? Impossibile. Quindi e=0 non va bene.
Però… mi viene da dire… non sono poi così distante… invece di scervellarmi in complesse equazioni, forse con un paio di tentativi me la cavo. Dunque (lo ammetto, è un approccio ingegneristico e non matematico) faccio prima a provare e=1 (non va bene, perché d=38, a=67, 144-67 fa 77 che diviso 2 fa 38.5 e siamo daccapo: non ci sono 2 interi entrambi maggiori di 38 e uno maggiore dell’altro che sommati diano 77) e poi (ormai ho capito di essere vicino) e=2 da cui viene d=37, a=66, 144-66 fa 78 ed ecco che con 40 e 38 me la cavo.
Dunque la sequenza 66,40,38,37,2 è valida e produce il massimo a=66.
Ciao Mau!
Buona domenica!
Quello è il massimo a possibile, ma io chiedo la differenza tra il massimo e il minimo a possibile :-)
Urca, hai ragione!
Mi sono bloccato proprio alla fine!
Dunque amax (66) – amin (49) = 17.
Chissà se è giusto e se c’era un modo più semplice per arrivarci?