Quizzino della domenica: Vicecampione fortunato

Al torneo Masters of Math sono arrivati otto giocatori, che si affronteranno per eliminazione diretta: quarti di finale, semifinale e finale. Il tabellone degli incontri è stato sorteggiato: non ci sono teste di serie, insomma. Supponete che ciascun giocatore abbia sempre la stessa forza, e quindi le partite finiscano sempre con la vittoria del più forte tra i contendenti. È chiaro che il più forte di tutti vincerà il torneo; ma qual è la probabilità che lo sconfitto in finale fosse davvero il secondo più forte del lotto?


coppa

(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p510.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Hugo Steinhaus, One Hundred Problems in Elementary Mathematics, n. 85; immagine da freesvg.org)

12 comments

  1. dovrebbe essere uguale alla probabilità che il secondo più forte abbia di essere sorteggiato nella parte di tabellone opposta a quella del giocatore più forte, che doverebbe essere 4/7, rispetto alla probabilità di 3/7 di essere nella stessa parte del più forte. Quindi circa 0.571.
    Se si esegue una simulazione Monte Carlo (500000 campionamenti) e si calcolano gli intervalli di confidenza al 95% con il Wilson score (che funziona leggermente meglio dell’approssimazione normale in questi casi, ma comunque peggio di un reblocking), il risultato dà:

    Intervallo di confidenza 95% per secondo più forte finalista: 0.570 0.573
    Intervallo di confidenza 95% per terzo più forte finalista: 0.284 0.287
    Intervallo di confidenza 95% per quarto più forte finalista: 0.113 0.115
    Intervallo di confidenza 95% per quinto più forte finalista: 0.028 0.029

    Se si aumentano i partecipanti a 16, con torneo che parte dagli ottavi, la probabilità che il secondo più forte arrivi in finale sarebbe 8/15, quindi 0.533, dal calcolo

    Intervallo di confidenza 95% per secondo più forte finalista: 0.531 0.534
    Intervallo di confidenza 95% per terzo più forte finalista: 0.265 0.268
    Intervallo di confidenza 95% per quarto più forte finalista: 0.123 0.124
    Intervallo di confidenza 95% per quinto più forte finalista: 0.051 0.052
    Intervallo di confidenza 95% per sesto più forte finalista: 0.018 0.019
    Intervallo di confidenza 95% per settimo più forte finalista: 0.006 0.006
    Intervallo di confidenza 95% per ottavo più forte finalista: 0.001 0.001
    Intervallo di confidenza 95% per nono più forte finalista: 0.0 0.0

    Il nono più forte avrebbe probabilità superiore a zero, contrariamente a quanto sostiene la simulazione, che non riesce a considerare probabilità per eventi molto rari. Questa probabilità si può comunque calcolare, quanto vale?

    • 2*(8!/16!), così ad occhio.In effetti la probabilità è 3.85417052e-9 e per riuscire a stimarla avresti dovuto fare mille volte tante simulazioni (forse un ordine di grandezza in meno, non sono bravo in statistica)

      • Dovrebbe essere superiore, perché in effetti la simulazione riesce a dare una stima, ero io che ho arrotondato a tre cifre decimali la stampa degli intervalli di confidenza e quindi dava zero. In una simulazione è capitato 68 volte su 500000, in una seconda 67 e in una terza 78, quindi la probabilità dovrebbe essere compresa nell’intervallo tra 6.6e-5 e 2.3e-4.

        • Perché il nono arrivi in finale, i primi 8 devono essere tutti dalla stessa parte del tabellone. Ci sono 8! modi in cui sono a sinistra e 8! in cui sono a destra.

          • così però non stai considerando la degenerazione delle combinazioni che stai contando, perché per ognuna delle 8! permutazioni delle prime 8 da una parte ci sono 7! permutazioni delle ultime 7 dalla parte dove sta la nona, che vanno anche moltiplicate per le 8 posizioni possibili in cui può mettersi la nona

          • sì, ho ovviamente sbagliato i conti. Per avere tutti i giocatori più scarsi nella parte sinistra del tabellone devo prenderne 8 su 16 in un unico modo, quindi lo posso fare in 16!/(8!*8!) modi. Poi raddoppio perché va anche bene non prenderne nessuno. Ottengo infatti lo 0,01554% di probabillità circa.

  2. A parte la soluzione richiesta, che anche secondo me corrisponde a quanto già scritto (fin dall’inizio), quello che mi interessa è la probabilità che sia il terzo giocatore a disputare la finale, col primo (perché il secondo, se non arriva in fondo è perché si è battuto già col primo, perdendo).

    Quindi, su sette potenziali avversari, il terzo vincerebbe al primo turno in cinque casi, perdendo contro i due avversari più forti; in semifinale potrebbe vincere solo se entrambi gli avversari più forti si fronteggiano nell’altro incontro, quindi un solo avversario su tre è alla sua portata.

    Però potrebbe avere c… maggiori possibilità se già nei quarti (quindi 1 probabilità su 7) si fronteggiano i primi due, in tal caso (ne resterà uno solo) avrebbe la meglio in 2 casi su 3, per poi essere sconfitto in finale (ineluttabilità del fato).

    Quindi, (5/7)*(1/3)+(1/7)*(2/3) = (5+2)/(7*3) = 1/3 (circa 33%)
    ma non corrisponde con la simulazione, why (pecché)? :-)