Quizzino della domenica: Vicecampione fortunato

Al torneo Masters of Math sono arrivati otto giocatori, che si affronteranno per eliminazione diretta: quarti di finale, semifinale e finale. Il tabellone degli incontri è stato sorteggiato: non ci sono teste di serie, insomma. Supponete che ciascun giocatore abbia sempre la stessa forza, e quindi le partite finiscano sempre con la vittoria del più forte tra i contendenti. È chiaro che il più forte di tutti vincerà il torneo; ma qual è la probabilità che lo sconfitto in finale fosse davvero il secondo più forte del lotto?


coppa

(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p510.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Hugo Steinhaus, One Hundred Problems in Elementary Mathematics, n. 85; immagine da freesvg.org)

12 pensieri su “Quizzino della domenica: Vicecampione fortunato

  1. procellaria

    dovrebbe essere uguale alla probabilità che il secondo più forte abbia di essere sorteggiato nella parte di tabellone opposta a quella del giocatore più forte, che doverebbe essere 4/7, rispetto alla probabilità di 3/7 di essere nella stessa parte del più forte. Quindi circa 0.571.
    Se si esegue una simulazione Monte Carlo (500000 campionamenti) e si calcolano gli intervalli di confidenza al 95% con il Wilson score (che funziona leggermente meglio dell’approssimazione normale in questi casi, ma comunque peggio di un reblocking), il risultato dà:

    Intervallo di confidenza 95% per secondo più forte finalista: 0.570 0.573
    Intervallo di confidenza 95% per terzo più forte finalista: 0.284 0.287
    Intervallo di confidenza 95% per quarto più forte finalista: 0.113 0.115
    Intervallo di confidenza 95% per quinto più forte finalista: 0.028 0.029

    Se si aumentano i partecipanti a 16, con torneo che parte dagli ottavi, la probabilità che il secondo più forte arrivi in finale sarebbe 8/15, quindi 0.533, dal calcolo

    Intervallo di confidenza 95% per secondo più forte finalista: 0.531 0.534
    Intervallo di confidenza 95% per terzo più forte finalista: 0.265 0.268
    Intervallo di confidenza 95% per quarto più forte finalista: 0.123 0.124
    Intervallo di confidenza 95% per quinto più forte finalista: 0.051 0.052
    Intervallo di confidenza 95% per sesto più forte finalista: 0.018 0.019
    Intervallo di confidenza 95% per settimo più forte finalista: 0.006 0.006
    Intervallo di confidenza 95% per ottavo più forte finalista: 0.001 0.001
    Intervallo di confidenza 95% per nono più forte finalista: 0.0 0.0

    Il nono più forte avrebbe probabilità superiore a zero, contrariamente a quanto sostiene la simulazione, che non riesce a considerare probabilità per eventi molto rari. Questa probabilità si può comunque calcolare, quanto vale?

    1. .mau. Autore articolo

      2*(8!/16!), così ad occhio.In effetti la probabilità è 3.85417052e-9 e per riuscire a stimarla avresti dovuto fare mille volte tante simulazioni (forse un ordine di grandezza in meno, non sono bravo in statistica)

      1. procellaria

        Dovrebbe essere superiore, perché in effetti la simulazione riesce a dare una stima, ero io che ho arrotondato a tre cifre decimali la stampa degli intervalli di confidenza e quindi dava zero. In una simulazione è capitato 68 volte su 500000, in una seconda 67 e in una terza 78, quindi la probabilità dovrebbe essere compresa nell’intervallo tra 6.6e-5 e 2.3e-4.

        1. .mau. Autore articolo

          Perché il nono arrivi in finale, i primi 8 devono essere tutti dalla stessa parte del tabellone. Ci sono 8! modi in cui sono a sinistra e 8! in cui sono a destra.

          1. procellaria

            così però non stai considerando la degenerazione delle combinazioni che stai contando, perché per ognuna delle 8! permutazioni delle prime 8 da una parte ci sono 7! permutazioni delle ultime 7 dalla parte dove sta la nona, che vanno anche moltiplicate per le 8 posizioni possibili in cui può mettersi la nona

          2. .mau. Autore articolo

            sì, ho ovviamente sbagliato i conti. Per avere tutti i giocatori più scarsi nella parte sinistra del tabellone devo prenderne 8 su 16 in un unico modo, quindi lo posso fare in 16!/(8!*8!) modi. Poi raddoppio perché va anche bene non prenderne nessuno. Ottengo infatti lo 0,01554% di probabillità circa.

  2. j-li

    A parte la soluzione richiesta, che anche secondo me corrisponde a quanto già scritto (fin dall’inizio), quello che mi interessa è la probabilità che sia il terzo giocatore a disputare la finale, col primo (perché il secondo, se non arriva in fondo è perché si è battuto già col primo, perdendo).

    Quindi, su sette potenziali avversari, il terzo vincerebbe al primo turno in cinque casi, perdendo contro i due avversari più forti; in semifinale potrebbe vincere solo se entrambi gli avversari più forti si fronteggiano nell’altro incontro, quindi un solo avversario su tre è alla sua portata.

    Però potrebbe avere c… maggiori possibilità se già nei quarti (quindi 1 probabilità su 7) si fronteggiano i primi due, in tal caso (ne resterà uno solo) avrebbe la meglio in 2 casi su 3, per poi essere sconfitto in finale (ineluttabilità del fato).

    Quindi, (5/7)*(1/3)+(1/7)*(2/3) = (5+2)/(7*3) = 1/3 (circa 33%)
    ma non corrisponde con la simulazione, why (pecché)? :-)

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