La storia del piccolo Gauss che sommò in un attimo i numeri da 1 a 100 è ben nota a tutti. Ma forse non sapete che il maestro, piuttosto arrabbiato perché aveva dato quel compito per starsene un po’ tranquillo e il ragazzino gliel’aveva impedito, diede un altro compito a Carl Friedrich. “Bene, immagina ora che ciascuno di quei numeri possa essere positivo o negativo: abbiamo insomma ±1 ±2 ±3 … ±99 ±100. Quante sono le somme diverse che si possono ottenere, scegliendo opportunamente i segni più e meno?” Mal gliene incolse: Gauss rispose senza nemmeno tornare al banco. Quante sono queste somme?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p476.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Sandro Campigotto, I giochi matematici di PhiQuadro, problema 10.1.)
2^100, per stare un po’ più tranquillo avrebbe potuto chiedergli la moda della popolazione
Hmm 2^100 no. Se mi fermo a 1,2,3 ne ho solo 7: 6,4,2,0,-2,-4-6
Hmm ho capito!
Anch’io contesto i risultati :-)
Chiaramente sono d’accordo con il numero di somme calcolabili, ma molti risultati sono equivalenti.
Supponiamo di limitarci ai primi 3 numeri (+-1, +-2, +-3), avremo che ai primi due risultati (+1 e -1) col solo primo numero ne aggiungeremo altrettanti inserendo anche il secondo numero (quindi +3, +1, -1, -3) e arriveremo a 8 col terzo numero; poi di seguito si sommerà ad ognuno di questi risultati prima +4 e poi -4, e ancora di seguito si sommerà a ciascuno dei risultati così ottenuti prima +5 e poi -5, e ancora (quindi 2^n, come da soluzione indicata)…
Però già con 3 numeri troviamo (ed è già stato fatto notare) che lo 0 (zero) si trova come risultato equivalente per 2 somme distinte; quando si sommeranno +4 e -4 troveremo che delle 16 somme possibili avremo che +4, +2, 0, -2, -4 sono risultati “duplicati”, quindi solo 11 risultati distinti.
Passando a 5 cifre, avremo solo 16 risultati distinti (6 unici, 4 duplicati e 6 triplicati)…
Quindi, il problema reale è stabilire quanti sa ranno i risultati *distinti* possibili, ma non ne ho voglia :-)
Ci provo.
Seguendo l’aiutino …
Le somme vanno da -5050 a +5050.
Parto da 5050 con tutti +.
Se cambio il segno a 1 la somma scende di 2.
Se lo cambio a 2 scende di 4.
Ecc.
Mi sembra di ottenere sempre valori pari,
per cui da -5050 a +5050 di numeri pari dovrebbero essercene 5051.