Quizzino della domenica: somme di potenze

Dimostrate che ci sono infiniti quadrati della forma 2m + 2n, con m e n interi positivi distinti; dimostrate inoltre che ci sono infiniti quadrati della forma 3m + 3n, sempre con m e n interi positivi distinti.


(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p460.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Judita Cofman, What To Solve.)


9 comments

  1. ” con m e n interi positivi ”

    Peccato, perché è sempre stato carino: 2^0 + 2^3 = 3^2 (ma anche 3^0 + 3^1 = 2^2 che è un po’ meglio; non arriva all’identità di Eulero ma ci si può accontentare).

    Suppongo che si parta, supponendo m più grande di n (per praticità di argomentazione) con:
    2^m + 2^n = 2^n * (2^(m-n) + 1)
    e poi dire che è sufficiente che (2^(m-n) + 1) corrisponda al quadrato di un altro numero… ehi, è come dire 2^3 + 1 = 3^2 per qualsiasi valore (ammissibile) di n, con m=n+3 ma senza doversi limitare a queste accoppiate (o sì? non ho ancora visto l’aiutino) :-)

      • :-)
        Certamente; ero convinto di averlo anche scritto, in precedenza, perché dove ho indicato “per qualsiasi valore […] di n” avevo inizialmente scritto pari (perché il prodotto di due quadrati è anch’esso un quadrato); poi, pensando di averlo già indicato prima, per evitare la ripetizione ho subito corretto con ammissibile, ma evidentemente non bastava.

        Nel mentre, ho provato se con altre potenze di 2, oltre al cubo, saltasse fuori la contiguità con qualche quadrato intero ( 2^p + 1 = q^2 ) ma fin verso la trentesima non ce n’è, e oltre non mi fido dei risultati dei calcoli fatti al volo, per cui ho mollato la presa, e mi faccio bastare quello che avevo già trovato :-)

  2. erratina corrigina nella soluzione: non a(m+2k)+a(m+2k), a(m+2k)+a(n+2k).

    • uffa, il solito copincolla sbagliato. Grazie! (ma mi ci vorrà un po’ di tempo per correggere)