In un problemino che viene a volte dato ai bambini delle elementari si chiede di trovare due numeri (interi positivi, ma questo per i bimbi è la norma) la cui somma e il cui prodotto siano uguali. In genere non ci vuole molto prima che qualcuno si accorga che 2+2 è uguale a 2×2; entrambe le operazioni danno 4.
Voi siete più grandi, quindi il problema che vi lascio questa volta è un po’ più difficile. Invece che 2, prendiamo un numero a caso, 42: siete capaci a trovare 42 numeri interi positivi la cui somma sia uguale al loro prodotto?
(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p135.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema adattato da Bernardo Recamán Santos, Rompicapo che passione.
Ultimo aggiornamento: 2016-06-07 14:35
i numeri interi non possono essere tutti diversi quindi io ho pensato a questo elenco.
37 numeri sono uguali a 1
4 numeri sono uguali a 2
1 numero è pari a 3.
sia la somma che il prodotto di questi numeri è uguale a 48
e comunque è la risposta
La soluzione proposta da .mau. per 42 è del tutto generale, nel senso che preciso ora.
Sia m il numero di interi positivi da considerare e siano questi A1,A2,…,Am. Se si impone A3=A4=…=Am=1 allora il problema si traduce nel risolvere contemporaneamente (ovvero mettendole a sistema) le due equazioni:
A1+A2+(m-2)*1=K e A1*A2*1*…*1=K (con K parametro intero positivo) e, se si pone A1=2 e A2=m, si vede facilmente che sono verificate entrambe con K=2*m.
In generale occorre risolvere (sempre nell’ipotesi A3=A4=…=Am=1):
A1+A2=K+2-m e contemporaneamente A1*A2=K, ovvero A1 e A2 devono essere le radici del polinomio p(x)=x^2-(A1+A2)*x+(A1*A2), ovvero p(x)=x^2-(K+2-m)*x+K.
A1=(K+2-m-sqrt(Delta))/2 e A2=(K+2-m+sqrt(Delta))/2 con Delta=(K+2-m)^2-4*K=(K-m)^2-4*m+(-2)^2.
Occorre che Delta sia un quadrato perfetto (Delta=H^2 con H intero positivo) e bisogna porre, perché A1 e A2 siano interi positivi, condizioni sulla parità di H rispetto a K+2-m ed inoltre deve essere K+2-m-H maggiore o uguale a 2, per lo meno.
Una soluzione – non so se l’unica, dovrei approfondire… – è che sia -4*m=2*(K-m)*(-2), da cui K=2*m e H^2=(m-2)^2=Delta, che porta a A1=2, A2=m.