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Immaginate di essere invitati a una grande festa in costume dei numeri naturali (1, 2, 3, … niente zero, insomma). Essendo in costume, non vi è possibile riconoscere nessun numero. Però essi sono tutti molto gentili e si riconoscono tutti tra di loro; quindi se ne prendete due qualunque e chiedete loro di combinarsi mediante una delle quattro operazioni fondamentali (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione), loro vi indicheranno qual è il numero corrispondente al risultato dell’operazione, oppure vi diranno che non c’è risposta. Insomma, se avete preso due personaggi corrispondenti a vostra insaputa al 42 e al 7, e chiedete loro di eseguire la divisione tra il primo e il secondo, vi indicheranno il personaggio corrispondente al 6, mentre se li aveste presi in ordine opposto vi avrebbero detto che non c’è nessun numero corrispondente: 1/6 non è infatti un numero naturale.
Se potete fare una quantità a piacere (ma finita) di queste domande, quali numeri potete arrivare a conoscere? Attenzione: ogni operazione deve essere richiesta a due numeri distinti, anche se il risultato può essere uno di essi come nel caso di 1 × k = k. Altrimenti sarebbe troppo facile: basterebbe prendere un personaggio e chiedere il risultato della sua divisione per sé stesso.
E se anziché i numeri naturali ci fossero i numeri interi?

(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p368.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema di David Butler; immagine di dear_theophilus, da OpenClipArt.)

Nel quadrato ABCD di lato 4 mostrato qui sotto in figura sono stati disegnati due archi di cerchio di centro A e B rispettivamente e di raggio 4, che si incontrano in un punto O. Quali sono il perimetro e area del triangolo curvilineo ADO colorato nella figura?


(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p367.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema classico.)

Sapete cos’è un’equazione diofantea? È un’equazione (generalmente con più incognite) in cui le incognite possono però avere solo valori che sono numeri naturali. Questo cambia molto le cose: per esempio, l’equazione 2x+3y=10 ha infinite soluzioni tra i numeri reali o anche solo interi, ma se la consideriamo come equazione diofantea l’unica soluzione è x=2, y=2. Risolvere le equazioni diofantee è spesso complicato: per quelle con due incognite esiste un algoritmo noioso, ma se il numero di incognite aumenta bisogna spesso lavorare per euristiche, cioè più o meno provare a caso e vedere come si va avanti.
Bene. Dopo tutto questo sproloquio, e tenuto conto che questo è il quizzino numero 366 della mia collezione: riuscite a scoprire se l’equazione diofantea 29x + 30y + 31z = 366 ha soluzioni oppure no?


(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p366.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema di Tanya Khovanova.)

Prendete un quadrato, un punto al suo interno, e tracciate da esso due segmenti perpendicolari tra loro che tocchino ciascuno dei suoi lati. Dimostrate che questi segmenti hanno la stessa lunghezza.


(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p360.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema tratto da Futility Closet.)

Nella figura qui sotto potete vedere due quadrati. Siete in grado di spostare quattro fiammiferi e ottenere tre quadrati? Non è permesso sovrapporre i fiammiferi: la figura risultante deve necessariamente essere planare. E naturalmente non è permesso spezzare i fiammiferi!


(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p359.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema di Serhiy e Peter Grabarchuk, da WSJ Brain Games.)

Il grande golfista Lion Wool è a un passo dalla sua terza vittoria consecutiva agli U.S. Open. Gli basta completare l’ultima buca in due colpi, ed è in posizione perfetta. Sceglie la mazza giusta, medita un po’, mima il colpo, infine lancia la pallina… che arriva a un paio di metri dalla buca, ma finisce dentro un sacchetto di carta che non si sa bene perché non era stato tolto dal campo.
I giudici sono irremovibili: Wool non può toccare il sacchetto per togliere la palla, se non con una penalità di due colpi che comprometterebbero la vittoria. Colpire pallina e sacchetto di per sé sarebbe possibile, ma non gli permetterebbe di dosare il lancio per mandare la pallina in buca. Lion rimane qualche minuto a pensare, poi sorride, mette la mano in tasca e si appresta a risolvere il problema. Cosa farà?


(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p358.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema di origine a me ignota: immagine di algotruneman, da OpenClipArt.)

Nella figura qui sotto ci sono tre cerchi inscritti in un rettangolo e tra loro tangenti. I diametri dei tre cerchi sono rispettivamente 3 cm, 4 cm, 6 cm. Quanto è lungo il segmento AB?

(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p357.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema tratto da Mind our Decisions.)

Nella figura qui sotto vedete alcune semplici operazioni aritmetiche (non ci sono trucchi: tutte le sfere sono uguali tra di loro come anche tutti i cilindri, la moltiplicazione si deve fare prima dell’addizione, i valori da trovare sono positivi). Trovate il risultato mancante a mente.
La scrittrice Celeste Ng ha detto che ha dato da risolvere questo problema a mente al suo figlio (o figlia) di sette anni. Mi pare un po’ esagerato: ma voi che avete qualche anno in più riuscite a risolverlo?

(un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p356.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema tratto da Mind our Decisions.)