Devo ringraziare Fabrizio, che si è premurato di mandarmi copia di un articolo di Repubblica Affari e Finanza di lunedì scorso. D’accordo, è sparare sulla Croce Rossa. Però non posso esimermi.
L’articolo parla di smart card e crittografia, con lo stile che ci si può aspettare dai nostri: ad esempio, parlando di RSA, dice “Si tratta forse dell’unico caso al mondo in cui dei matematici hanno ricavato del denaro dai loro studi”. Ma la vera perla è la “spiegazione” della crittografia a chiave pubblica.
Quando si dice “numeri”, però, si dice una cosa molto complessa. In realtà si tratta di un numero primo che è il prodotto della moltiplicazione di due altri numeri primi.
Presumo che la definizione di numero primo per l’anonimo articolista sia “numero molto complesso e grande”. D’altra parte come si può costruire un numero primo, se non partendo da altri numeri primi? (No, non può essere semplicemente una svista. Ti può scappare scritto “numero primo” perché stai pensando ai suoi fattori primi, ma allora non scrivi che è prodotto “di due altri numeri primi”)

Ultimo aggiornamento: 2005-01-28 14:25

Il Codacons è sempre fonte di divertimento, come in questo comunicato stampa in cui annuncia di avere fatto un esposto in cui chiede di “sequestrare il numero 53 sulla ruota di Venezia” (così si è sicuri che non esca…) ma anche di “avviare contro ignoti indagini penali” nemmeno così banali, visto che si parla di “concorso in istigazione al suicidio, alla violenza privata, istigazione all’usura, truffa commerciale”.
Però una cosa buona l’hanno detta: nelle ricevitorie del lotto dovrebbero esserci cartelli come le scritte sulle sigarette, che ricordino che i numeri ritardatari non hanno maggiore probabilità degli altri di essere estratti, e che scommettere troppo può danneggiare irreversibilmente le persone e i beni.
Per la seconda parte non posso aggiungere nulla, ma vorrei spendere due parole sulla prima.
Il calcolo delle probabilità è una brutta bestia, ed è facilissimo prendersi delle cappelle. D’Alembert, ad esempio, era convinto che lanciando due dadi la probabilità di ottenere 11 e 12 fosse la stessa. (se ne sei convinto anche tu, O lettore, scrivimi: ne potremmo parlare facendo una scommessina…)
Ma quello che probabilmente è peggio è che la gente ha sentito qua e là delle affermazioni che sono vere in un senso ben preciso e limitato, e le prende come verità colata per tutte le occasioni.
La “legge dei grandi numeri” non dice affatto “a lungo andare, eventi con la stessa probabilità devono accadere lo stesso numero di volte”. Se fosse davvero così, vuol dire che a tutte le estrazioni del lotto il Caso (o Dio, o la Grande Giocatrice e Contabile Lassù nel Cielo) dovrebbe dire “bene, nel passato è successo questo e questo, e quindi devo spostare un attimo le probabilità per rendere più facile che esca il 53”. Ma com’è che Costei fa i suoi conti? Vale solo la ruota di Venezia? o forse tutte e dieci le ruote italiane? e le tombolate contano anche loro? se cambiano l’urna, bisogna ricominciare tutto daccapo?
Il tutto senza tirare in ballo il vero Teorema del limite centrale (quello che volgarmente viene chiamato legge dei grandi numeri), che permette di stimare di quanto si sbaglia a credere che tutti i valori alla lunga siano uguali. Insomma: se lanci un milione di volte una moneta che ti dicono essere bilanciata, e ti esce testa 499000 volte, puoi essere ragionevolmente certo che non ti contino balle. (sì, sempre “ragionevolmente”. Di qui non si scampa). D’altra parte il 53 potrebbe non uscire mai più anche se non se lo sono messi in tasca ed è regolarmente presente nell’urna. Un’altra delle stranezze della probabilità è che ci sono cose che possono capitare ma hanno probabilità zero: questo capita solo se ci sono infinite possibilità, ma se ci si pensa su un attimo è comunque un bel paradosso.
Quello che mi piacerebbe vedere, se qualcuno dei miei lettori non è d’accordo con il mio ragionamento, è un loro commento con le loro ragioni, perché per me dire “un numero ritardatario ha più probabilità di uscire di un altro” è una cosa così assurda che non riesco a comprenderla.

Ultimo aggiornamento: 2005-01-25 12:56

Si stanno di nuovo avvicinando delle elezioni. Non so se sia capitato di sentire anche a voi questa “dimostrazione matematica” che porta in uno schieramento bipolare entrambi i candidati verso il centro dello schieramento.
Supponiamo di avere una lunga spiaggia (le posizioni politiche, da sinistra a destra) dove i vari bagnanti sono variamente distribuiti. Questa spiaggia non ha venditori ambulanti: gelati aranciate cocco e quant’altro si possono comprare solo da due banchetti, che hanno l’esclusiva. Si può immaginare che ognuno vada a prendersi il gelato da quello che è più vicino, e che all’inizio siano uno più o meno a sinistra e uno a destra. Però il primo può pensare “se mi spostassi un pochino a destra, continuo ad essere il più vicino per quelli alla mia sinistra; continuo ad essere il più lontano per quelli alla destra del mio collega; ma per alcuni di quelli in mezzo divento io il più vicino. Quindi ci guadagno: domani mi posiziono più a destra”. Il gelataio di destra fa naturalmente il discorso simmetrico, e così per Ferragosto ce li troviamo in mezzo schiena contro schiena.
Cosa c’è di sbagliato in questo ragionamento? Matematicamente, nulla. Fila perfettamente qualunque sia la distribuzione degli elettori, pardon dei bagnanti, sulla spiaggia. Funzionerebbe perfino con una spiaggia non lineare ma planare, se lo spostamento avviene in direzione dell’altro. L’errore è molto più sottile: viene fatto l’implicito assunto che tutti prendano necessariamente il gelato. Se qualcuno decidesse che non vale la pena fare tutta quella strada, e quindi si astenesse, il ragionamento viene subito inficiato. Il problema non è quindi sul ragionamento, ma molto più alla base, sul modello; qualcosa che non sembra però essere compreso da molta gente, che non solo si rifiuta di capire la matematica ma ha un atteggiamento fideistico che forse è ancora più pericoloso.
Aggiornamento: temo di essere stato troppo nebuloso: provo ad aggiungere un esempio con i numeretti. (ancora modificato… l’ho sempre detto io che è difficilissimo divulgare la matematica)
La nostra spiaggia ha cento persone. In questo momento, la situazione è simmetrica: ci sono 30 persone a sinistra del gelataio S divise in due gruppi di 20 e 10 persone, 15 un pochino a destra di S, 10 più o meno equidistanti tra S e D (che divido in 5+5 per far vedere meglio la simmetria… pensateli comunque tutti come pencolanti da una parte all’altra), 15 un po’ a sinistra di D, 30 a destra di D. Tutti inoltre si comprano un gelato. Graficamente:
20 10 S 15 S1 5 X 5 D1 15 D 10 20
Supponiamo che D decida di spostarsi verso il centro e andare a piazzarsi al punto D1, in modo che le cinque persone all’immediata sinistra e destra del centro X trovino più comodo andare da lui piuttosto che da S; il tutto mentre S se ne sta fermo. Così ad occhio sembrerebbe che S rimarrà con solo 45 clienti mentre D ne avrà 55. Se però i venti all’estrema destra decidessero che tanto a questo punto sia S che D sono due gelatai comunisti, e quindi preferiscono non degnarsi di andare a prendere un gelato, abbiamo che S continuerà ad avere 45 clienti, ma D ne avrà solamente 35. Ergo, l’imprenditore con maggior successo sarà S, nonostante D abbia più persone nel suo bacino di utenza.
Intendiamoci, anche questo è un modello estremamente semplificato, e che fa delle assunzioni molto forti sulla distribuzione dell’elettorato, pardon dei bagnanti: ma il mio punto è proprio che occorre studiare attentamente il modello.

Ultimo aggiornamento: 2005-01-17 11:08

Allora, ci dovrebbero essere cinque miliardi di euro, trovati non so bene come, per la riduzione delle tasse.
Facciamo un po’ di conticini, di quelli facili. Se non vado errato, le persone che pagano tasse sono circa 25 milioni, una volta tolti bambini, nullatenenti e chi è sotto il reddito minimo tassabile. Facciamo la divisione: vengono fuori duecento euro a contribuente che contribuisce. Considerando che chi dichiara più guadagni avrà anche un maggior risparmio, quello che rimane ai redditi medi sarà ancora di meno.
Vale la pena di fare tanto casino per così poco?

Ultimo aggiornamento: 2004-11-18 11:02

È una simpatica legge statistica, che afferma che è più facile che un numero preso a caso inizi per 1 piuttosto che per 9.
Ho scritto al riguardo una paginetta che non è ancora finita – mancano le figure… – ma dovrebbe essere completa. Qualcuno dei miei lettori vuole darci un’occhiata, vedere se sono riuscito a rendere l’idea comprensibile anche a chi la matematica non la vuole proprio sentire, e inviarmi qualche commento?

Ultimo aggiornamento: 2004-10-26 17:35

Sono appena tornato dal Brico, dove abbiamo preso tra le altre cose del terriccio. Anna mi fa “non prendere quello da 50 litri, ma due da 25: costa di più ma è più comodo da gestire”. Il ragionamento mi andava benissimo. Però non riesco a comprendere come mai il peso del sacco da 50 litri sia 14 Kg, mentre quello da 25 ne pesa solo 6. Si scopre sempre qualcosa di nuovo.

Ultimo aggiornamento: 2004-10-09 14:30

Ho sbertucciato in passato Repubblica per i suoi sedicenti “articoli scientifici”, e posso ragionevolmente immaginare che continuerò a farlo. Ma mi sembra giusto fare notare che anche all’estero non è che se la passino così bene. Prendiamo questo articolo del Guardian. Già il titolo parte sul sensazionalista: “Il sacro Graal matematico può portare un disastro a Internet”. Poi scopri che stanno parlando delle possibili dimostrazioni della congettura di Poincaré e dell’ipotesi di Riemann, anche se sono “troppo difficili per essere spiegate”; e che quest’ultima “dovrebbe darci una comprensione migliore di come funzionino i numeri primi, e quindi potrebbe essere tradotta in qualcosa che produrrebbe uno «spettrometro primale»” (un fattorizzatore veloce, nel pittoresco gergo usato nel corso dell’articolo) che ovviamente distruggerebbe tutto il commercio elettronico.
Mentre è vero che se si troverà un sistema per fattorizzare velocemente i grandi numeri le conseguenze per tutti i sistemi di cifratura attuali saranno gravissime, l’ipotesi di Riemann non c’entra per nulla, visto che dà solamente una misura statistica di come i numeri primi sono distribuiti: per la precisione, migliora la misura che abbiamo già. Però se non si parla di Internet e dei suoi pericoli, chi si mette a leggere l’articolo?

Ultimo aggiornamento: 2004-09-08 12:26

Capisco. È agosto, e bisogna riempire in qualche modo i quotidiani. Il mostro di Loch Ness è fuori moda da una vita, e occorre qualcosa di nuovo. Ma piazzare in prima pagina dell’edizione domenicale di Repubblica un articolo su un “matematico libanese” che avrebbe dimostrato il quinto postulato di Euclide mi pare davvero troppo. Gabriele Romagnoli dovrebbe tornare ai suoi temi fondamentali, e non dedicare poi un’intera pagina alla filosofia di questo tipo che ritiene una macchia indelebile la sola esistenza delle geometrie non euclidee e spiega che persino al gesuita Saccheri è mancata la guida dello Spirito Santo, per quello che non è riuscito a risolvere nulla. Non parliamo poi dei postulati che sono diventati delle “verità valide solamente in geometria” – si direbbe che qualcuno ha spiegato al giornalista che “assioma” è un termine generico, mentre “postulato” si usa solo in geometria, e il telefono senza fili ha partorito questo risultato.
Per chi giustamente non fosse addentro alla questione, il quinto postulato di Euclide afferma in soldoni che due rette parallele non si incontrano né da un lato né dall’altro; equivalentemente, che la somma degli angoli di un triangolo è 180°. Nella prima metà dell’800 alcuni matematici (Gauss, Lobacewski, Riemann, Bolyai…) cominciarono a pensare che forse si poteva anche usare un postulato diverso (due rette parallele si incontrano sempre, oppure ci siano rette non parallele che non si incontrano) e la geometria non crollava. In effetti, si sono costruiti dei modelli di queste geometrie nella nostra geometria euclidea: quindi se crolla una, crollano tutte.
Né è poi così naturale che la somma degli angoli di un triangolo debba necessariamente essere 180 gradi: se uno misurasse il triangolo Torino-Praga-Lione scoprirebbe che la somma degli angoli è maggiore!
Non lasciatevi suggestionare, insomma.
Aggiornamento: Oltre al calcolo dei numero di quaderni utilizzati, come ha fatto notare Larsen nei commenti, vale la pena di ricordare come hanno riportato la sua affermazione: “il solo metodo di vincita sicura richiede di puntare con quarantadue schede”. Dal contesto – e da quanto afferma costerebbe il metodo – è chiaro che la versione originale era “richiede di puntare su tutti e quarantadue i numeri estraibili”. Sigh. Innumeracy über alles.

Ultimo aggiornamento: 2004-08-08 16:29