“giubilante”
(Poesia gaussiana)

Benvenuti all’edizione numero 179 del Carnevale della matematica, dal tema “matematica estiva”! Il 179 è un numero primo, e quindi la cellula melodica ha una sola nota: Dioniso ci comunica che “il soprano si è scocciata di cantare note altissime e vuole preservare le sue corde vocali”, e quindi ha dovuto cambiare la regola. Per cui, d’ora in poi, per i numeri primi ci muoveremo verso il basso. In tutti i sensi. Per il momento un si è alla portata anche dei contralti :-)

Come ho detto, 179 è un numero primo: ma è anche un membro della catena di Cunningham 89, 179, 359, 719, 1439, 2879 (la più piccola con sei membri), e non essendo né il primo né l’ultimo della catena è per definizione un numero primo di Sophie Germain e un numero primo sicuro. È anche un superprimo, perché è il 41.mo numero primo e 41 è primo; infine è un numero omirp. Ma passiamo ai contributi!

♦ Dioniso ci presenta Maieutica e duplicazione del quadrato – terza parte, che i più acuti di voi avranno intuito essere il seguito di Maieutica e duplicazione del quadrato – seconda parte. Un estratto:

«Il metodo di Socrate prevede domande e risposte tra maestro e allievo, e procede per eliminazione delle risposte contraddittorie o irragionevoli. E può far anche emergere l’infondatezza di verità che diamo per scontate, declassificandole al loro vero ruolo di opinioni. È così che l’allievo viene indotto ad accorgersi della propria ignoranza e a discernere le verità dalle false presunzioni».«Sì, ma le diagonali…», ribadì Eudosso con gli occhi che tradivano un barlume di incertezza.

♦ Annalisa Santi, come sempre, rispetta il tema riproponendo il suo Meteo, matematica e…farfalle!. Come ci racconta,

Era agosto 2014, quando scrissi questo articolo che, dopo 10 anni, sembra fatto su misura per questo maggio/giugno 2024 e per il tema scelto per questa 179esima edizione del Carnevale della Matematica.

In questo articolo introducevo considerazioni sulla correlazione tra i modelli meteorologici, la matematica e le previsioni meteo, soprattutto in base alla teoria del caos che dimostra come cambiamenti infinitesimali che avvengono in un sistema possono portare a cambiamenti sorprendentemente drammatici, che, in modo poetico, Lorenz sintetizzò con la famosa battuta: «Un battito d’ali di una farfalla in Brasile potrebbe provocare un tornado in Texas».

Mi chiedevo:
Cos’è la previsione meteorologica numerica?
Cos’è un modello meteorologico?
Quali sono le equazioni principali che sono utilizzate dai modelli?
Quale è l’affidabilità di queste equazioni per una corretta previsione?
La matematica frattale aiuta?

Tutte domande le cui risposte ancora ben si adattano alle problematiche odierne riferite al meteo.

♦ MaddMaths! come al solito ha tanti contributi. Comincio con quello in tema:

Scuole estive (e non) di matematica per giovani. Giovani con la passione della matematica vogliono passare un’estate diversa dal solito con un po’ della loro materia preferita? Ecco cosa abbiamo trovato in rete. Ce lo racconta Marco LiCalzi, con l’amichevole collaborazione di Chiara de Fabritiis.

Vediamo ora il resto.

• Il podcast Matematica al plurale – oltre il pregiudizio, voci dalla didattica
  Se pensiamo a quanti modi ci sono di concepirla, impararla, percepirla nel mondo e nel tempo, che variano da soggetto a soggetto, verrebbe forse da pensarla al plurale: “Matematiche”. Anche perché riguarda tutte le persone: fin dal suo apprendimento, la matematica ha un impatto rilevante sulle nostre vite e spesso si lega a emozioni forti, tra cui la paura di fallire. I voti in matematica continuano a terrorizzare generazioni di studenti e studentesse. Perché succede? Come riconciliarsi con questa disciplina bellissima, ma spesso odiata? Fino a che punto il suo insegnamento può far fronte alle sfide dettate dall’evoluzione tecnologica? Ne parliamo in Matematica al plurale – Oltre il pregiudizio, voci dalla didattica, un podcast a cura della Commissione italiana per l’insegnamento della matematica dell’Unione Matematica Italiana, in collaborazione con l’Associazione italiana di ricerca in didattica della matematica, pubblicato da MaddMaths! e disponibile dal 18 maggio su questa pagina, su Spreaker, Spotify e su tutte le principali piattaforme di streaming audio. La voce narrante è di Rosetta Zan. I testi sono a cura di: Anna Baccaglini-Frank, Alessandra Boscolo, Chiara Giberti, Alice Lemmo, Maria Mellone, Domingo Paola, Alessandro Ramploud, Rosetta Zan. La registrazione e l’editing sono a cura di Enrico Bergianti. Le musiche originali sono di Francesco Imbriaco. L’artwork del podcast è a cura di Tigre Contro Tigre.
• È arrivato il n. 15 di Didattica della Matematica
  È uscito il quindicesimo numero della rivista Open Access Didattica della matematica. Dalla ricerca alle pratiche d’aula curata dal Centro competenze didattica della matematica del Dipartimento formazione e apprendimento / Alta scuola pedagogica della SUPSI. Il nuovo numero presenta 3 articoli nella sezione Riflessione e ricerca, di cui uno anche disponibile in lingua inglese, 4 contributi nella sezione Esperienze didattiche relative a tutti i livelli della scuola dell’obbligo e 6 recensioni di libri inerenti la matematica e la sua didattica.
• Archimede 1/2024: cent’anni di Mandelbrot È finalmente in stampa il numero 1/2024 della rivista Archimede. Vi proponiamo il sommario del direttore Roberto Natalini:
  “Il 2024 di Archimede sarà accompagnato da un grande matematico, Benoît Mandelbrot, che quest’anno avrebbe avuto cent’anno, e che ha coniato il termine “frattale” aprendo così nuovi orizzonti alla geometria e alle applicazioni della matematica. Nei quattro numeri di quest’anno il fumettista Lorenzo Palloni ci racconterà la sua storia, con testi, disegni e costruzioni ispirate alla sua opera. Il primo episodio è “Visioni”. Gli articoli di questo numero sono molto diversi tra loro. Cozzani, Sandri e Zaccagnini ci presentano un percorso laboratoriale che, usando la teoria dei numeri, ci fornisce lo spunto per creare collane e orecchini che raccontano teoremi. Cerasaro ci propone invece un percorso storico che permette una presentazione consapevole e visualmente convincente degli argomenti relativi ai rapporti e alle proporzioni che si svolgono nella scuola superiore di primo grado. Infine Gregorio e Presutti proseguono la serie dedicata ai vari concetti legati ai numeri, con un articolo sui numeri interi, dedicato principalmente agli ultimi anni di scuola primaria e alla scuola secondaria di primo grado.”
• Rivoluzioni matematiche: il teorema dei numeri primi di Alessandro Zaccagnini Con il numero di Giugno de Le Scienze troverete in allegato il ventunesimo dei trenta volumi della collana dedicata ad alcuni tra i maggiori teoremi matematici. La collana è stata elaborata in collaborazione con la redazione di MaddMaths!. Questo nuovo volume è dedicato al Teorema dei numeri primi e non poteva essere scritto che da Alessandro Zaccagnini.
• La matematica è piena di Eulero!: Il metodo di Eulero Il quinto episodio della serie di MaddMaths! su alcuni dei tanti risultati di Eulero. Questo episodio è a cura di Francesca Carfora.
• Racconta la tua vita a matematica (questionario per persone laureate in matematica dal 2018) Hai ottenuto la laurea in matematica (triennale o magistrale) dal 2018 in poi? Allora puoi partecipare a una iniziativa di orientamento della casa editrice Alpha Test per aiutare le persone che frequentano le scuole superiori a scegliere con consapevolezza il loro percorso universitario rispondendo a un questionario online. Vediamo meglio di cosa si tratta.
• Matematica, comunicazione, società, una proposta di Daniele Gouthier
  La comunicazione e la divulgazione della matematica hanno un ruolo sempre più importante per la nostra disciplina. E allora, come promuovere attività di comunicazione e di divulgazione, come consolidare la cultura della divulgazione, come formare i futuri divulgatori alla professione del divulgatore e i futuri matematici alla comunicazione? Su queste e altre domande vorrebbe provare a rispondere, o almeno ad aprire il dibattito, Daniele Gouthier. Sarebbe utile ricevere le vostre opinioni in proposito.
• Un piccolo passo per un uomo … C’è un certo fermento nel mondo della teoria dei numeri. Come scrive Terence Tao su Mastodon “C’è stato un notevole progresso verso l’ipotesi di Riemann (anche se siamo ancora abbastanza distanti da una sua piena risoluzione) compiuto da Guth e Maynard, che hanno ottenuto un primo miglioramento sostanziale su una stima classica di Ingham degli anni ’40 sugli zeri della funzione di Riemann”. Per saperne di più chiediamo come al solito ad Alessandro Zaccagnini.

Ma ci sono anche le rubriche!

Per le News di Stefano Pisani:

• I matematici possono contribuire alla giustizia sociale
  La matematica potrebbe sembrare un improbabile alleato per la ricerca sulla giustizia sociale. Ma applicare il rigore del campo si sta rivelando un approccio promettente per identificare, e talvolta anche implementare, ottime soluzioni ai problemi sociali. Se ne parla in un saggio di approfondimento, comparso su Nature, dal titolo “Can mathematicians help to solve social-justice problems?” del quale di seguito trovate una rielaborazione e parziale traduzione.
• Le leggi di Newton aiutano a nuotare meglio
  Cento anni fa, alle Olimpiadi di Parigi del 1924, l’americano Johnny Weissmuller vinse i 100 metri di stile libero maschili con un tempo di 59 secondi. Quasi un secolo più tardi, nelle Olimpiadi di Tokyo 2020, Caeleb Dressel, sempre nello stesso stile, portò a casa la medaglia d’oro rosicchiando 12 secondi a Weissmuller. I tempi, in questo sport, sono significativamente migliorati negli anni come risultato combinato di diversi fattori di innovazione applicati all’allenamento, alla strategia di recupero, alla nutrizione, nonché all’uso di più moderne attrezzature. Ma un ruolo chiave, in questi progressi, va riconosciuto sicuramente alla biomeccanica della bracciata, che ha consentito di ottimizzare le tecniche natatorie in ogni stile.

Per La Lente Matematica di Marco Menale:

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Per Letture Matematiche:

• Le geometrie oltre Euclide, Misurare la Terra, descrivere l’Universo – recensione
  L’editore Scienza Express ha pubblicato Le geometrie oltre Euclide, un libro del nostro “matematico prestato alla Disney” Alberto Saracco. Lo ha letto e ce ne parla Sandra Lucente.
• Mathematica di David Bessis – una recensione di Nicola Ciccoli L’editore Neri Pozza ha pubblicato Mathematica: un’avventura alla ricerca di noi stessi, un libro di David Bessis. Lo ha letto e ce ne parla Nicola Ciccoli.
• È la fisica, bellezza!, Federico Benuzzi
  Brevi consigli per letture matematiche. “È la fisica, bellezza!” di Federico Benuzzi, consigliato da Marco Menale.

♦ Da Amo la matematica abbiamo un post che più in tema di così non si può: Matematica estiva. Daniela spiega:

La mia matematica estiva è quella che ritrovo camminando in montagna! Avrei dovuto preparare questo post al termine delle vacanze estive dell’anno scorso e, in qualche modo, l’avevo già scritto nella mia testa, ma poi il rientro a scuola e la ripresa di tutte le attività mi ha obbligato a una corsa contro il tempo, togliendomi la possibilità di scriverlo. Con il tema di questo Carnevale, direi che si sposa abbastanza bene e permette di fare anche un po’ di turismo matematico diverso dal solito: si tratta di un turismo naturale, tra le montagne della Valle Camonica (in provincia di Brescia) e non solo.

♦ I Rudi Matematici questo mese sono stati insolitamente silenti: nell’attesa che esca il numero 305 della Prestigiosa Rivista Matematica, c’è solo il cosiddetto “post istituzionale di soluzione”: “Tre birre al bauschanzli”, dove hanno cercato di gabbare i lettori lasciando intendere che fosse un problema di probabilità e invece non lo era. Non c’è cascato nessuno.

♦ Segnalo invece il gradito ritorno di Maths Is in the Air, con un’intervista ad Alberto Saracco sul suo libro recentemente uscito dal titolo: “Le Geometrie oltre Euclide”.

♦ Gianluigi Filippelli scrive più di me. Ecco cosa ci presenta questo mese.

• Iniziamo con la serie delle biografie.
  Nella serie di Vite di scienza, il podcast youtubico, ecco Arthur Eddington che non è esattamente un matematico ma fu il primo a portare le prove di uno dei modelli matematici più famosi della fisica, la relatività di Einstein (se ne parlerà anche più sotto!). Per i Ritratti ecco Karen Uhlenbeck, la prima (e per ora unica) donna a venire insignita del Premio Abel.
• Come ormai da un paio di mesi a questa parte le recensioni scientifiche sono monopolizzate dalla serie Matematica in uscita in edicola. Per questo mese ecco le recensioni di La trigonometria –
• Catastrofi e caos – Geometria analitica – La matematica della relatività. E a proposito della serie di libri, ho proposto una reinterpretazione di uno dei giochi matematici uscito sul terzo volume. Nella rubrica dei Paralipomeni di Alice ecco I due razzi https://dropseaofulaula.blogspot.com/2024/05/paralipomeni-di-alice-i-due-razzi.html
• La rubrica gemella dei Paralipomeni, i Rompicapi di Alice, questo mese invece propone Il sorriso del gatto dedicato, ovviamente, al Gatto del Cheshire. La parte più corposa del post è dedicata a un rompicapo di Sam Loyd su una fase palindroma. Al suo interno propongo una generalizzazione della soluzione a un numero 2n + 1 di lettere della frase.
• Una lettera d’amore algoritmica si occupa del capostipite dei generatori automatici di testi programmato da Christopher Strachey, che è stato assistente e amico di Alan Turing nonché, come si vedrà in uno dei contributi successivi, il primo ad aver fatto suonare un computer!
• L’articolo di cui sopra è la perfetta introduzione alla miniserie di articoli usciti nella rubrica delle particelle musicali.
  Iniziamo con Musica frattale che esplora la musica generata usando la matematica dei frattali. La serie prosegue con Suno: musica intelligente, in cui provo a raccontare la matematica delle reti neurali artificiali, oltre a raccontare i miei esperimenti con questo tool online per generare musica a partire da prompt o testi propri.
• Nel frattempo questa rubrica è anche sbarcata su YouTube con una serie di 4 video sull’argomento della musica generata dal computer. Questi sono i post di appoggio dei video, pubblicati su uno dei miei (tanti) blog: Musica col computer, in cui racconto la storia di Strachey; Musica frattale, che è la versione video del post omonimo; La decima sinfonia, sul completamento grazie a una rete neurale della decima sinfonia di Beethoven; Suno, musica intelligente, che è la versione video del post omonimo.

Infine tocca a me.

• I quizzini del mese sono Numeri allo specchio; che mi dicono essere troppo facile; Semplice, che è sicuramente semplice; Quanti quadrati? mostra come invece è difficile contare; Frazione continua è facile ma ha una bella soluzione grafica.
• Le recensioni dei librini della collana sono: La trigonometria, scritto da mem dove ho preferito raccontare il perché la trigonometria è nata e si è sviluppata; Catastrofi e caos di Chris Casalvieri, dove avrete finalmente un’idea del perché i matematici parlano di catastrofi; La geometria analitica di Filippo Favale e Alessandro Cattaneo, utile ripasso per chi non se la ricorda più; La matematica della relatività di Christian Casalvieri, che mostra che almeno la relatività ristretta non è poi troppo difficile; La matematica combinatoria di Roberto Zanasi: perché si fa matematica anche contando.
• Le altre recensioni matematiche sono di Aritmetica, di Paul Lockart, altamente consigliato soprattutto per chi non ha mai capito perché imparare a memoria le tabelline; Teoria dell’informazione, di Giuseppe O. Longo: un vecchio testo (dei primi anni ‘80) ma con qualche spunto interessante; Le geometrie oltre Euclide, di Alberto Saracco, un ottimo testo che va al di là dei soliti racconti sulle geometrie non euclidee.
• Per il mercoledì matematico, racconto che la fattorizzazione unica è una cosa così bella che ce l’hanno anche i numeri complessi; che ChatGPT non è capace di risolvere un semplice problema matematico; della serie di Kempner, che si ottiene da quella armonica togliendo certi termini; Comma 22, un divertissement che si può proporre a qualche ragazzino.

Ci vediamo (speriamo) a settembre con una nuova edizione del Carnevale!

Prendete un numero qualunque di tre cifre tutte distinte diverse da zero: per esempio 718. Elencate tutti i possibili numeri di due cifre che si possono ottenere dalle cifre di quel numero: nel nostro caso, 17, 18, 71, 78, 81, 87 in ordine crescente. Sommate tutti quei numeri e dividete il risultato per la somma delle cifre del numero di partenza: (17 + 18 + 71 + 78 + 81 + 87)/(7 + 1 + 8) = 352/16 = 22. Qualunque sia la vostra scelta, il risultato sarà sempre 22!

Il motivo è semplice: se il numero di partenza si scrive abc, i sei numeri di due cifre che si ottengono a partire da esso sono 10a + b, 10a + c, 10b + a, 10b + c, 10c + a, 10c + b; la loro somma è quindi 22(a + b + c), che divisa per le cifre del numero di partenza dà proprio 22.

Ultimo aggiornamento: 2024-06-12 11:10

Immagino conosciate tutti la serie armonica, cioè la somma degli inversi dei numeri naturali: $ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots $. Immagino anche sappiate che la serie diverge, come già sapeva Oresme nel medioevo: basta raggruppare $ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} $, $\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}$,
$\frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \cdots + \frac{1}{16}$ e così via, e notare che la somma di ogni raggruppamento è maggiore di 1/2. Per i curiosi, come si può intuire dalla figura qui a fianco, il valore parziale della serie armonica da 1 a $n$ si può approssimare con $\textrm{ln}\; n$, cioè con il logaritmo naturale. (E addirittura l’errore tende alla costante di Eulero-Mascheroni $\gamma$).

Chiamiamo ora diabolico un numero che contiene al suo interno la successione 666, e sommiamo gli inversi di tutti i numeri che non sono diabolici. Bene: questa somma invece converge. Quello che forse non è noto a tutti è infatti che se si eliminano dalla somma tutti i numeri che contengono una certa cifra allora il risultato è finito. La cosa fu scoperta da A. J. Kempner nel 1914, e le serie così costruite si chiamano serie di Kempner, appunto. La dimostrazione che quelle successioni sono finite ricorda un po’ quella di Oresme che abbiamo visto sopra. Togliamo per esempio tutti i numeri che contengono il 9. Dato un numero naturale $n$, i numeri di $n$ cifre che non contengono il 9 sono $8 ⋅ 9^{n−1}$, poiché ci sono 8 scelte possibili (da 1 a 8) per la prima cifra, e 9 scelte indipendenti (da 0 a 8) per ognuna delle altre $n−1$. Ma ciascuno di questi numeri senza 9 è maggiore o uguale di $10^{n−1}$, quindi il contributo di questo gruppo alla somma dei reciproci è minore di $8(9/10)^{n−1}$. Facendo la somma di tutti i contributi dati dai numeri di 1, 2, 3, … cifre si ottiene che la somma è minore di 80. (Il valore effettivo è circa 22,92067: diciamo che in questo caso la stima era molto grossolana.) Qualcuno potrà lamentarsi perché la dimostrazione parla di numeri di una cifra che vengano tolti, e non di 666: ma il ragionamento qui sopra si può fare con una qualunque base e una qualunque cifra in quella base tolta. Se lavoriamo in base 1000 e togliamo la “cifra” 666 otteniamo una serie che ha più termini di quella che cerchiamo (per esempio conterrà 426660, visto che il numero si divide come 426-660) ma che comunque converge.

Ah: può sembrare incredibile, ma la somma degli inversi dei numeri primi invece diverge. Cresce in modo davvero lento: l’ordine di grandezza della somma dei primi $n$ primi è $O(\textrm{ln}\; \textrm{ln}\;n)$, ma comunque diverge.

(immagine di Baszoetekouw, da Wikimedia Commons)

Una delle caratteristiche più sorprendenti, almeno per me, dei numeri naturali è il teorema di fattorizzazione unica. Nulla ci potrebbe fare immaginare a priori che un qualunque numero (e ce ne sono infiniti!) potrà sempre essere scritto in unico modo come prodotto di elementi di un insieme anch’esso infinito ma molto più “piccolo”: i numeri primi, i mattoni con cui si formano i numeri per mezzo della moltiplicazione. Certo, il fatto che possiamo moltiplicare il numero per 1 quante volte vogliamo ci rovina un po’ la festa; anzi, ce la rovina così tanto che a un certo punto i matematici hanno deciso di eliminare 1 dall’elenco dei numeri primi, mettendolo in una categoria a parte: quella delle unità, o se preferite degli invertibili. In effetti 1 è l’unico numero naturale il cui inverso è ancora un naturale: ed è questo che gli permette di essere presente in un numero di copie a piacere: tutte le volte che ce n’è uno basta moltiplicare anche per il suo inverso (che in questo caso è sempre 1) ed è come se non avessimo fatto nulla. In effetti se al posto dei numeri naturali usiamo gli interi succede che all’unità 1 si aggiunge il suo opposto -1 ma la fattorizzazione unica resta, mentre se passiamo ai numeri razionali, dove tutti gli elementi tranne 0 sono invertibili, non ha senso parlare di fattorizzazione.

Potrmmmo chiederci cosa succede se ampliamo la definizione di interi: sempre con una difficoltà geneale a trovare un inverso, ma su insiemi più ampi dei numeri interi. Il primo candidato che viene in mente è il campo dei numeri complessi, dove potremmo prendere i numeri della forma $a + bi$ dove $a$ e $b$ sono numeri interi. Questi numeri si chiamano interi di Gauss, l’insieme relativo si indica come $\mathbb{Z}[i]$ oppure $\mathbb{Z}[-1]$, dove si prender il numero tra parentesi quadre, si fa la sua radice quadrata e lo si aggiunge alla struttura numerica di $\mathbb{Z}$, e giocano appunto nel campo dei complessi lo stesso ruolo che gli interi giocano tra i reali. Cosa succede con questi numeri, almeno per quanto riguarda la fattorizzazione? Per esempio, 2 non è un numero primo: infatti è il prodotto $(1+i)(1-i)$. Anzi, è addirittura un quadrato: infatti i numeri invertibili negli interi di Gauss sono $1, -1, i, -i$ e abbiamo $i(1-i)^2 = 2$. Perché ci sono solo quei quattro invertibili? Semplice. Sappiamo che l’inverso di un numero complesso $a + bi$ ha a denominatore la sua norma $|a^2 + b^2|$, e l’unica possibilità per cui la norma sia 1 è che uno tra $a$ e $b$ valga 1 e l’altro valga 0. In compenso, 3 continua a non avere divisori, e quindi è un numero primo di Gauss (d’accordo, la fantasia nei nomi è poca). Ci sono poi numeri primi anche tra gli immaginari e i complessi: $3i$ è primo, perché il prodotto di un invertibile per un numero primo, e $1-i$ è anch’esso primo. Nella figura in cima alla pagina vedete una rappresentazione grafica dei primi di Gauss “piccoli”.

In definitiva, un intero di Gauss $a + bi$ è un primo di Gauss se:

• è un numero reale o immaginario puro, e il suo valore assoluto è un numero primo della forma $4k = 3$;
• è $\pm 1 \pm i$;
• $a$ e $b$ sono entrambi non nulli e $a^2 + b^2$ è un nuemro primo (e quindi della forma $4k + 3$.

In definitiva, pare che il concetto di numero primo sia comunque qualcosa di naturale anche se passiamo da una a due dimensioni numeriche. Sarà proprio vero?

Immagine di Dr Zibu, da Wikimedia Commons)

Ultimo aggiornamento: 2024-05-22 10:24

Quanti conti dovete fare per rispondere a queste domande? Ve le riporto direttamente nel testo:

Se 5/17 è 0,(2941176470588235), scrivete le seguenti frazioni come numeri decimali periodici:
– 12/17
– 1/34
– 27/34

Prendetevi un momento di tempo prima di continuare a leggere, ma non prendete carta e penna (e tanto meno una calcolatrice, che tanto non vi darebbe tutte le cifre volute! Se non lo sapeste, la notazione decimale con una parte tra parentesi indica che quello è il periodo della frazione.

Continua a leggere→

Domani l’idraulico passerà da me per una riparazione abbastanza urgente. Mi ha assicurato che arriverà in un qualche momento tra le 8 del mattino e le 4 del pomeriggio: a differenza del tipico idraulico posso essere certo che manterrà la parola. Mia moglie ha scommesso con me una settimana di pulizie in casa se l’idraulico arriverà prima o dopo mezzogiorno. In questo momento le mie probabilità a favore e contro sono le stesse; ma domani a una qualunque ora dopo le 8 del mattino, se l’idraulico non è ancora arrivato, la probabilità che arrivi di pomeriggio è maggiore, visto che l’intervallo di tempo è rimasto più ampio. Ma allora mi conviene direttamente puntare sul pomeriggio già adesso! Ma non avevo detto che era irrilevante per ora scegliere tra mattino e pomeriggio?

Questo paradosso è stato presentato nel 2005 da Alan Hájek in un paper intitolato “The Cable Guy paradox”. Il paradosso indubbiamente c’è, perlomeno se assumiamo che l’idraulico non arrivi alle 8 spaccate. In effetti, se arrivasse qualche millesimo di secondo dopo le 8 i miei neuroni probabilmente non sarei ancora riuscito a concepire il pensiero “adesso è meglio scegliere il pomeriggio” quindi potremmo dire che il paradosso sarebbe risolto: ma sappiamo che in questi problemi dobbiamo assumere una posizione molto teorica e distante dal mondo reale. In compenso, dice sempre Hájek, se mi dessero un incentivo per quanto piccolo se scegliessi il mattino allora in questo momento mi converrebbe farlo, salvo poi pentirmene amaramente dopo poco tempo (anche se magari poi vincerei lo stesso perché l’idraulico è arrivato alle 11:40).

Ma allora come si risolve il paradosso? Non lo si risolve. Hájek sostiene che il problema è psicologico: si sceglie il pomeriggio per evitare la frustrazione. Io – che comunque la frustrazione preferisco evitarla eccome! – parto semplicemente dal principio che non devo passare il tempo davanti all’orologio. Se stasera partissi, ingiungendo a mia moglie di non dirmi nulla fino a domani sera, potrei scegliere mattino o pomeriggio senza preoccuparmi; eppure le informazioni sono le stesse!
E voi che ne pensate?

(immagine di snoopingasusual, da OpenClipArt)

Negli anni ’90 del secolo scorso i personal computer cominciavano a essere una presenza usuale, e spuntavano i primi giochi grafici: il guaio è che per avere della bella grafica occorre fare tanti conti e la potenza di quei computer non era certo quella attuale, soprattutto se si dovevano usare le operazioni in virgola mobile e non quelle con gli interi. Occorreva dunque inventarsi i più strani metodi per eseguire le operazioni più complicate: ma l’algoritmo per la radice quadrata inversa veloce ha battuto ogni record.

Per prima cosa, che significa “Radice quadrata inversa”? È l’operazione che da x ottiene x^−½, cioè l’inverso della radice quadrata di x. Naturalmente “veloce” significa che l’algoritmo usato è più veloce di quello standard, probabilmente legato all’iterazione con il metodo di Newton a partire da una approssimazione. La prima implementazione per la radice quadrata inversa veloce prevedeva una tabella precompilata di dati da cui partire e migliorare il risultato approssimato; ma anche lo spazio a disposizione non era poi troppo. L’algoritmo che secondo Wikipedia fu ideato alla Silicon Graphics non aveva invece bisogno di una tabella, ma solo di una costante magica: 0x5f3759df. Come funzionava questo algoritmo? Si prendeva il numero x (float a 32 bit), e si salvava la sua metà x2 = x/2 per dopo. Poi si prendeva x, lo si leggeva come se la successione di bit rappresentasse un intero, si faceva uno shift logico a sinistra di una posizione (il primo bit veniva buttato via, gli altri scalavano di una posizione a sinistra, e si metteva uno zero in fondo), si sottraeva questo numero dalla costante magica e si leggeva il risultato y come fosse un float. Seguiva un’iterazione dove y veniva ricalcolato come 1,5 − (x2 × y²). Tutto qua.

Ma come è stata trovata questa costante? Non ho avuto voglia di leggermi tutta questa tesina, lo ammetto :-) Tanto ormai le CPU calcolano in virgola mobile a una velocità incredibile…