Il paradosso di Monty Hall è stato uno dei pochissimi argomenti di matematica ad avere l’onore della prima pagina del New York Times, giusto per dare un’idea di quanta fama ha avuto negli anni ’90: probabilmente perché è così controintuitivo che molte persone, anche versate in matematica e probabilità, sbagliano la risposta. Per chi non lo conoscesse, ecco il testo: leggetelo molto attentamente, perché non c’è nessun trucco sotto ma la formulazione deve essere assolutamente precisa.
Sei alla fase finale dello show condotto da Monty Hall. Hai davanti a te tre porte; dietro una di esse c’è una Ferrari, dietro le altre due una capra. Tu scegli una porta, e vincerai quello che ci sta dietro. Dopo che hai fatto la tua scelta, Monty – che sa dov’è nascosta la capra – ti dice “Beh, oggi mi sento buono e ti voglio aiutare: invece che una probabilità su tre di vincere la Ferrari, te ne voglio dare una su due. Guarda: in effetti una delle porte che non hai scelto nascondeva una capra”. Apre una porta e mostra l’ovino belante. Monty prosegue: “Questa è la tua ultima possibilità: preferisci cambiare la tua scelta o rimani sulla porta iniziale?”
Per essere ancora più chiari, ecco alcune precisazioni. Dietro una delle tre porte c’è la Ferrari, e voi volete vincerla; Monty Hall sicuramente apre una porta con dietro una capra, tra le due che non avete scelto; se può scegliere quale porta aprire perché entrambe nascondono una capra, sceglie a caso; voi siete sicuri che vi faccia l’offerta in ogni caso. Ora, molte persone dicono che è indifferente cambiare porta oppure no; la verità è che cambiare porta raddoppia le vostre probabilità di vincita, da 1/3 a 2/3.
In tutti questi anni ho visto moltissime persone che non sono affatto convinti di questa cosa, e non sono mai riuscito a convincerli. La cosa strana è che però nessuno ha mai voluto fare una scommessa multipla al riguardo con me, chissà perché. Riprovo ancora una volta; sono sempre pronto ad accettare la sfida. Ecco la mia versione del gioco per la scommessa; se qualcuno non è d’accordo sul fatto che sia la stessa cosa, parliamone.
Prendiamo un’estrazione futura del lotto, a tua scelta. Ci sono 11 ruote – hanno aggiunto la Nazionale a quelle classiche – e quindi vengono estratti 55 numeri. I numeri da 1 a 30 sono nella classe “1”; quelli da 31 a 60 sono nella classe “2”; quelli da 61 a 90 sono nella classe “X”. Prima dell’estrazione, tu dici a che classe apparterrà ciascun numero; dopo l’estrazione, senza che tu sappia quali numeri sono effetivamente usciti, io ti dirò per ciascun numero una classe (diversa da quella che hai scelto) a cui il numero non appartiene; a questo punto, visto che per te è indifferente cambiare o no, ti propongo di puntare 4 euro su ciascuna tua scelta. Se non avevi indovinato, mi intasco i soldi; se invece avevi indovinato te li ridò assieme a 5 euro miei.
Come per i polli di Trilussa, su 55 giocate ne dovresti in media vincere 27 volte e mezzo, e quindi guadagnare 27,5 euro; se anche sei parecchio sfortunato e vinci solo 25 volte perdendo 30, hai ancora 5 euro di margine. C’è un piccolo problema legato al fatto che i numeri estratti su una ruota non sono statisticamente indipendenti, ma se la cosa ti disturba possiamo prendere i primi estratti di cinque estrazioni consecutive. Facciamo la scommessa? Anzi guarda, per dimostrarti che non c’è trucco né inganno ti posso dire in anticipo quale classe ti dirò essere perdente, a seconda della tua scelta e del numero effettivamente estratto; così puoi calocare direttamente anche tu quanti soldi vincerai…
– Tu hai detto 1, è uscito 2; ti dirò che X è perdente.
– Tu hai detto 1, è uscito X; ti dirò che 2 è perdente.
– Tu hai detto 1, è uscito 1; se il numero estratto è pari, ti dirò che X è perdente, altrimenti ti dirò che 2 è perdente.
– Tu hai detto 2, è uscito 1; ti dirò che X è perdente.
– Tu hai detto 2, è uscito X; ti dirò che 1 è perdente.
– Tu hai detto 2, è uscito 2; se il numero estratto è pari, ti dirò che 1 è perdente, altrimenti ti dirò che X è perdente.
– Tu hai detto X, è uscito 1; ti dirò che 2 è perdente.
– Tu hai detto X, è uscito 2; ti dirò che 1 è perdente.
– Tu hai detto X, è uscito X; se il numero estratto è pari, ti dirò che 2 è perdente, altrimenti ti dirò che 1 è perdente.
Sei pronto? Ti aspetto… (e la prossima settimana racconterò ancora qualcosa a riguardo)

Ultimo aggiornamento: 2009-09-26 22:44

Leggo dalla BBC che in Bulgaria per due volte consecutive sono stati estratti gli stessi sei numeri – anche se non nello stesso ordine – alla locale lotteria; le autorità bulgare, memori forse del tempo in cui stavano nel blocco sovietico e l’espressione “consenso bulgaro” aveva un significato negativo, hanno subito fatto partire un’inchiesta al riguardo. Ma è davvero così improbabile un simile avvenimento?
Non so tra quanti numeri venga estratta la sestina vincente in Bulgaria, quindi non posso calcolare la probabilità di avere per due volte di fila la stessa sestina, che poi è la stessa probabilità di riuscire a indovinare la sestina. Se prendiamo per buono quanto riportato dall’articolo, tale probabilità è una su 4 milioni, il che sembrerebbe davvero incredibile. Persino Terry Pratchett, che ama dire che in letteratura le cose che hanno una probabilità su un milione di funzionare riescono nove volte su dieci, probabilmente scuoterebbe la testa. D’altra parte, come ho già detto più volte, una sestina deve essere estratta, in fin dei conti, e siamo noi a vedere delle correlazioni: facili in questo caso (tutti i numeri uguali ai precedenti), più complicate in altri casi.
Fare delle stime della probabilità “generica” (lasciatemi per il momento passare il termine, ve lo spiego dopo) è un po’ difficile, ma ci provo lo stesso. Immaginiamo che ogni giorno, da una qualunque parte del nostro pianeta, ci siano 100 estrazioni simili al lotto bulgaro, nel senso di numero di distinti risultati possibili. Consideriamo di tutto: ad esempio lotterie con un milione di biglietti estratti dove vengono estratti 10 biglietti e potrebbero essere stati premiati due numeri consecutivi. Anche se fosse capitata una cosa del genere qualcuno avrebbe potuto gridare alla truffa, no? La stima mi pare abbastanza ragionevole; questo darebbe 36000 estrazioni ogni anno – arrotondiamo a 33000. In quindici anni di lotterie avremo raggiunto 500.000 estrazioni; un evento che capiti una volta su 4 milioni non è così improbabile, se facciamo mezzo milione di tentativi.
Avete notato il punto fondamentale del mio ragionamento? Una coincidenza specifica (due estrazioni (1) consecutive, (2) degli stessi numeri, (3) al lotto bulgaro, (4) la scorsa settimana) è molto improbabile; ma una “coincidenza generica” (due estrazioni con una facile relazione tra di loro da qualche parte nel mondo in un qualche momento) è molto più semplice da ottenere, perché non limitiamo anticipatamente il campo in cui vogliamo operare. Fortuna, sì; ma non così incredibile.
P.S.: la cosa più interessante, almeno a mio parere, non è tanto matematica quanto sociologica. Nella prima estrazione nessuno aveva indovinato la sestina; nella seconda ci sono stati ben 18 vincitori , tutta gente che probabilmente è convinta della “memoria dei numeri”. Inoltre i soldi che girano in Bulgaria sono pochi, pochissimi rispetto al nostro superenalotto: i 18 fortunati hanno infatti vinto poco più di 5000 euro a testa, il che significa che il montepremi per la sestina vincente era inferiore ai 100000 euro…

Ultimo aggiornamento: 2009-09-17 15:34

Sì, sono in ritardo. Diciamo che tra le giornatacce di questo periodo il 14 settembre è stata una delle peggiori. Rammento comunque ai miei ventun lettori che il Carnevale della Matematica XVII (anagramma di VIXI… ecco perché c’è chi dice che il 17 porta male) è ospitato dagli amici e conterranei di Gravità Zero, che con l’occasione hanno anche attivato una fan page su Facebook che sono sicuro sottoscriverete a decinaia.
Buona lettura matematica, e ricordatevi che il “carnevale maggiorenne” del 14 ottobre sarà ospitato da una new entry, Gianluigi Filippelli, e che dovreste smetterla di fare i timidi e candidarvi per l’edizione di novembre, oltre che scrivere e parlare di matematica!

Ultimo aggiornamento: 2009-09-14 23:59

Chi si interessa alla matematica ricreativa sa perfettamente chi è John Horton Conway, e chi non si interessa ha già smesso di leggere, quindi non perdo tempo a spiegarglielo. Vorrei invece spiegare uno degli algoritmi inventati da Conway, quello per calcolare a mente la data di un qualunque giorno passato presente e futuro. Vi risparmio le mnemoniche da lui inventate – se proprio le volete conoscere, Wikipedia è la vostra amica – e mi limito alla pratica.
Innanzitutto, vediamo le date dell’anno in corso. In qualunque anno, il 4/4, il 6/6, l’8/8, il 10/10 e il 12/12 cadono lo stesso giorno (quest’anno è sabato). Questo giorno è chiamato il Doomsday, letteralmente il giorno del Giudizio (anche se preferirei definirlo il Giorno del Destino); quest’anno è di sabato. Inoltre anche il 9/5, il 5/9, l’11/7 e il 7/11 sono un Doomsday, così come l’ultimo giorno di febbraio, o se preferite lo zero marzo, e il 3 gennaio in 3/4 degli anni; per i bisestili è il 4 gennaio. A questo punto, avendo un’ancora per ogni mese, è facile andare avanti sommando o sottraendo multipli di sette per avvicinarsi alla data richiesta.
Se vogliamo fare i Veri Mnemonici, però, dobbiamo trovare un modo per sapere automaticamente qual è il Doomsday di un anno qualunque. Beh, Conway ha pensato anche a questo. Occorre sapere il numero magico del secolo; per gli anni 18xx è 5, per i 19xx è 3, per i 20xx 2, per i 21xx 0 e così ciclicamente. Poi si calcola la parte relativa all’anno; si prende la parte xx, e le si somma il quoziente della sua divisione per 4. Questo numero, sommato al numero del secolo, ci dà il nostro Doomsday. Nel 2009 calcoleremo così 9/4 = 2 (con resto 1): la somma di 2+9+2 fa 13, cioè 6. Visto che la settimana inizia di domenica come spiega l’Antico Testamento, il Doomsday per quest’anno cade di sabato.
Il tutto serve a qualcosa? No. Basta tirare fuori il proprio telefonino e potete ricavare subito il giorno della settimana corrispondente a una data data. L’unica utilità, oltre al divertimento per i pazzi che amano di queste cose, è che tutti questi conti ti mantengono attivo il neurone, il che non è poi da buttar via.

Ultimo aggiornamento: 2009-08-19 11:44

 
Benvenuti alla sedicesima edizione del Carnevale della Matematica! Il 16 è un numero molto interessante dal punto di vista matematico, ma non solo. Qui in Italia a sedici anni puoi giusto prendere la patente A e bere alcolici, ma negli USA prendi la patente vera e propria. I sedici anni sono un’età magica, e il rock’n’roll se n’è appropriato; a parte il brano portato al successo da Ringo Starr, credo tutti voi ricordiate Sweet Little Sixteen, e forse qualcuno rammenta anche Sixteen Candles.
Ma questo è il Carnevale della Matematica, non della Musica, e quindi sarà opportuno passare alle proprietà del numero 16. È un quadrato, e anche una quarta potenza; è anche l’unico intero positivo n per cui esiste una soluzione all’equazione n = x^y = y^x con x ≠ y, come dimostrato da Eulero: e scusate se è poco! Chi ama i numeri geometrici, può deliziarsi nel sapere che 16 è un numero pentagonale centrato, ed è il primo quadrato che può essere scritto in due modi diversi come somma di due numeri triangolari in due modi: 16 = 6 + 10 = 1 + 15; chi è davvero curioso può andare su Wikipedia e scoprire che 16 è un numero di Erdős–Woods e un numero di Padovan. Ultimo ma non certo ultimo, i computer attuali contano tutti in base 16, usando i numeri esadecimali. Insomma, questo numero 16 è una cifra tonda informatica :-)
Cosa è successo di bello nell’orticello matematico italiano online? parecchie cose, nonostante il caldo estivo.
Iniziamo con una new entry, Dioniso, che da qualche tempo sta preparando una storia della matematica, anzi “Un avvincente percorso storico tra Numeri e Geometria”. Come dice lui stesso, Dopo aver riascoltato una trasmissione radiofonica di Piergiorgio Odifreddi ho pensato di ripercorrere e approfondire (per quanto possa consentirlo un blogghetto) l’avvincente percorso storico tra Numeri e Geometria che parte da Pitagora per arrivare alla fine del XX secolo. Ecco le prime puntate. ♦ I pitagorici, quelli di “Tutto è Numero” ♦ Il crollo del castello pitagorico, con la diagonale di un quadrato che non è un numero ♦ Il grande contributo dei pitagorici, l’idea di dimostrazione ♦ Platone e le forme geometriche: “quasi nulla è Numero”, ma … ♦ Euclide, o della Rifondazione Matematica; &diams gli Elementi di Euclide: sistematizzazione e nascita del metodo assiomatico ♦ la Biblioteca di Alessandria: Archimede: il mondo matematico si ellenizza.
Anche Popinga appare da poco nel Carnevale: stavolta ci segnala un suo vecchio contributo sull’attività poetica di James Clerk Maxwell e un divertissement su limerick e clerihew matematici; però vi consiglerei di dare un’occhiata anche al suo Rio Mandelbrot. Gli amici di Gravità Zero ci segnalano il pezzo di Walter Caputo Scoperte le basi di un gioco matematico!!!, con alcune somme magiche fatte su una calcolatrice, e quello di Claudio Pasqua su Hilbert e i suoi 23 problemi, che detto così sembra un cugino di Alì Babà e i 40 ladroni ma è un tipo di leggendarietà ben diversa. Il mio omonimo kchico parla di algebra, con L’anello delle classi modulo n e la sua applicazione ai criteri di divisibilità. Non vi dico che è uscito il numero 127 di Rudi Mathematici; ma per quanto riguarda i Rudi Matematici senza l’acca, l’ultimo mese ha portato per la serie vecchi classici della Matematica Ricreativa Tentativi o non Tentativi, col celebre “Problema impossibile” dei matematici S(omma) e P(rodotto) e un problema di percorso su griglia; per i Compleanni, questo mese si parla del papà dei quaternioni, William Rowan Hamilton; infine per i Paraphernalia, è giunto sui loro schermi Suppergiù Platonicamente Perfetto, che inizia a trattare di cose facili ad immaginarsi.
Ci sono poi gli habitué logorroici (quelli come me, insomma). zar prosegue la sua spiegazione dialogica sui numeri surreali, che in questi trenta giorni è andata parecchio avanti: abbiamo ♦ la costruzione di nuovi numeri surreali (dopo lo zero); ♦ la definizione di ordinamento; ♦ la Genesi di tutti i numeri; ♦ mettiamo in ordine i nuovi numeri; ♦ come funziona l’ordinamento; ♦ e come funziona l’induzione; ♦ semplifichiamo l’elenco dei nuovi numeri; ♦ come si sommano due numeri surreali.
Chi preferisce cose meno surreali si rinfrescherà sicuramente da Giovanna, che come sempre tratta temi di tutti i tipi. Per la serie “curve celebri” con Geogebra ha scritto La cicloide e La nefroide; tra i puzzle geometrici tre post, sullo Stomachion di Archimede, una segnalazione su Il Tongram e la dimostrazione di Perigal del Teorema di Pitagora. Le terne pitagoriche sono un tema già trattato in passato; in questo mese abbiamo un post sui cateti espressi da num consecutivi, Triangoli pitagorici … inoltre!. C’è poi un “raccontino”, tratto da Il senso di Smilla per la neve: Il Sistema numerico come la vita umana; per la didattica, due esercitazioni guidate con filmatino, Rotazione: individua il centro e… e Disegna il vettore. Non ci si può proprio lamentare!
Annarita Ruberto di La Nostra Matematica ci invia tanti post, dai titoli autoesplicativi: Il Problema Delle Graffette – Mathematics In Movies – Probabilità E Circonferenza: Il Paradosso Di Bertrand – Il Segreto Del 57 E Altre Magie – Numeri Felici – Numero 57, Numeri Felici, Calendario Maya, Grande “Conto”…Ed Harry Potter – Numeri Palindromi – FIBONACCI NIM – Geometria Composita Nella Figura Della Poesia “Notte”: Sezione Aurea, Endecagramma – Il Puzzle Della Capra Nel Recinto – Il Puzzle Della Capra Nel Recinto: Le Soluzioni – Geometria Di Una Curva: L’Ovoide A Cipolla – Logica Fuzzy: Storia E Sue Applicazioni
Per quanto riguarda il sottoscritto, infine, tra le recensioni librarie trovate gli ultimi volumi della collana Sfide Matematiche, Cibo per la mente – II (diciamo che il primo volume era meglio); Eravamo 5 amici al bar … / Ero un Leoncino di Mompracem (la prima parte soporifera, la seconda carina); The Inquisitive Problem Solver (se vi piacciono i problemi matematici, questo libro è per voi!); Coincidences, Chaos and All That Math Jazz (divulgazione matematica basata sulle sue manifestazioni non intuitive) e L’invenzione della verità (un bel saggio di filosofia della scienza di Bruno de Finetti). Poi c’è un link a SymmetriSketch, un’applicazione che permette di costruire figure simmetriche complesse a piacere. Nella Povera Matematica c’è stato un post su un articolo del Giornale, La matematica fa male? e uno (con molti interessanti commenti) a proposito delle statistiche sulla RU486. Per la matematica light, infine, c’è un post abbastanza serio sulla matematica del Superenalotto, una proposta – al momento ferma – per un Glossario matematico – ricreativo e un post molto leggero sui Metri Teorici.
Bene, anche per agosto ce l’abbiamo fatta! Ricordo che il 14 settembre troverete la nuova edizione del Carnevale da Gravità Zero, e se volete contribuire basta che segnalate loro i vostri post. Se invece volete ospitare il Carnevale potete scrivermi o passare sul blog matematti a mettere il vostro nome; questo blog è anche aperto a chi voglia scrivere di matematica ma non voglia avere un blog apposta, basta chiedermi l’accesso. Buona matematica a tutti!

Ultimo aggiornamento: 2009-08-14 00:00

Mentre Anna e io stavamo andando verso l’Ipercoop di Carasco, abbiamo visto i vari cartelli segnalatori, con la distanza indicata in “mt”. Anna ha commentato “chissà perché usano l’abbreviazione mt invece che la corretta m; alla fine abbiamo deciso che in effetti non si tratta di metri, ma dei famosi metri teorici. Ve ne sarete accorti anche voi: la distanza indicata non ha nessuna relazione con quella reale, e nel caso di più cartelli consecutivi per la stessa destinazione l’unica cosa di cui si può (di solito) essere certi è che i numeri che si vedono decrescenti.
La matematica delle unità di misura non finisce qui, però: ci sono i pesi indicati in “gr”, che non possono essere altro che grammi relativi: il loro uso è in genere limitato alle diete, dove si sa che il peso non è una variabile ma una costante, e quindi occorre giocare in altro modo per ottenere i risultati voluti. Non siamo però riusciti a trovare il significato dell’unità temporale denominata “sec”. Saranno “secondi e chissà”? “Secondi eventualmente compressi”? “Secondi effettivamente consumati”?

Ultimo aggiornamento: 2009-08-03 07:00

Ve lo dico subito: non vi racconto come si fa a vincere al Superenalotto, ma non mi metto nemmeno a fare tutte le solite storie sui 622 milioni di schedine possibili, sul fatto che il modo migliore di vincere è non giocare, e che cento milioni di euro sono molto più di quanto possa ragionevolmente spendere qualcuno. Lo fanno già in tanti, e non mi sembra serva a qualcosa. Preferisco un approccio più pragmatico e non così distruttivo.
È chiaro che il Superenalotto, come tutti i giochi di azzardo, statisticamente fa guadagnare lo Stato e non certo i giocatori. Solo il 34.6% delle giocate viene redistribuito nel montepremi: quindi per ogni euro giocato in media mi dovrei aspettare di ritrovarmi meno di 35 centesimi. Per prima cosa, il conto è sbagliato; il jackpot continua a crescere con i soldi non vinti in precedenza, anche se comunque non ne vale la pena: giocare tutte le possibili combinazioni costerebbe 311 milioni di euro, giusto per dare un’idea. Ma quella della vincita media è però una statistica alla Trilussa; nient’altro che il numerino che esce fuori da una formula di Excel™ o del vostro foglio di calcolo preferito, e che nella vita reale può o meno essere importante.
Elwyn Berlekamp un giorno mise giù la cosa in questi termini: “Supponete di dover necessariamente lasciare l’isola dove vi trovate, ma non abbiate i soldi necessari per il volo: il biglietto costa 360 euro e voi ne avete solo 10. Se lì vicino c’è un casinò, la vostra migliore chance è andare e puntare i costri dieci euro su un numero secco. Tanto restare con dieci euro o al verde è solo lo stesso!” Detto in altro modo, un conto è il guadagno teorico atteso, ma all’atto pratico possono essere più importanti altre considerazioni. Insomma, se uno decide di andare dal tabaccaio a farsi le due schedine esattamente come potrebbe andare al bar a prendersi cappuccino e brioche non è certo un problema, sempre che sappia che quei soldi li ha probabilmente persi. Il vero problema è quando uno continua a giocare sempre più soldi per recuperare quelli persi nei concorsi precedenti; quello sì che è pericoloso, e spero nessuno dei miei lettori sia finito in questo vortice. Temo che spesso sia così: tra l’altro, rispetto all’ultima megavincita di fine 2008 si può notare come con un concorso in meno ci sia un montepremi maggiore di quasi il 10 percento. Semplicemente un sottoprodotto della crisi?
Veniamo al montepremi abnorme. A parte che dopo avere scoperto che a maggio in Spagna hanno vinto 126 milioni di euro ho vieppiù capito che ormai i cugini poveri siamo noi, tutti i commentatori che tuonano contro le grandi vincite partono da un assunto: che la gente giochi singolarmente la schedina. Sarà vero? Io non lo so, ma mi sembra abbastanza comune vedere ad esempio venti persone che si coalizzino per giocare venti colonne. Il risultato pratico è moltiplicare per venti la probabilità – infima, occhei – di vittoria, dividendo per venti l’eventuale vincita e facendo soffrire molto meno i vincenti della cosiddetta “sindrome della fortuna”.
Insomma, la matematica è sempre una cosa seria: non basta tirare fuori una formuletta perché le cose funzionino sempre perfettamente! (Per i curiosi: no, io non ho mai giocato al Superenalotto, e credo di aver giocato una volta al Totocalcio con mia nonna quando avevo dodici anni; come vedete, posso pontificare da perfetto ignorante!)

Ultimo aggiornamento: 2009-07-30 12:26

Sto giochicchiando con DokuWiki (ne parlerò più diffusamente in seguito) e mi è venuto in mente che si potrebbe fare un glossario di “matematica usata per i problemi ricreativi”.
Trovate un primissimo abbozzo qui: l’idea dovrebbe essere di avere una rapida spiegazione nel glossario, e poi almeno per alcune voci un wikilink che porti a una spiegazione un po’ più corposa. Domande varie:
– vi piace l’idea?
– avete degli argomenti che vorreste vedere definiti e/o trattati? (la differenza è quella indicata sopra)
– volete lavorarci su? (se riesco a settare la wiki)
ps: dokuwiki ha già al suo interno la possibilità di fare un wikilink a Wikipedia per eventuali approfondimenti. La mia idea è un po’ diversa da quella di Wikipedia, ma naturalmente non è in contrapposizione, pur essendo un progetto non-commercial. Me la posso portare avanti anche da solo, il terzo punto è il meno importante insomma.

Ultimo aggiornamento: 2009-07-21 18:11