Supponete di avere un numero, prendere cifra per cifra, elevarla alla potenza 1, 2, 3… e sommare tutti questi risultati. In certi casi si può ottenere il numero iniziale: per esempio se partiamo da 89 e scriviamo \( 8^1 + 9^2 = 8 + 81 = 89 \). È ovvio che i numeri di una sola cifra hanno questa proprietà; ma così è troppo facile. È abbastanza facile dimostrare che i numeri con questa proprietà devono essere una quantità finita; per un numero \( N \) di \( k \) cifre deve infatti valere la doppia disuguaglianza \( 10^{k−1} ≤ N ≤ 9 + 9^2 + 9^3 + … 9^k \), e mentre la prima parte è automatica la seconda quando si arriva a \( k = 22 \) non può valere. Ma quanti sono questi numeri? Ce lo suggerisce come sempre OEIS: l’elenco è \( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 89, 135, 175, 518, 598, 1306, 1676, 2427, 2646798 \) seguito da

\( 12157692622039623539 = 1^1 + 2^2 + 1^3 + 5^4 + 7^5 + 6^6 + 9^7 + 2^8 + 6^9 + 2^{10} \)
\( \qquad + 2^{11} + 0^{12} + 3^{13} + 9^{14} + 6^{15} + 2^{16} + 3^{17} + 5^{18} + 3^{19} + 9^{20}. \)

Trovate il problema e la soluzione qui

Sono d’accordo, saperlo non serve a nulla. Al limite potrebbe essere interessante sapere come hanno fatto i conti, ma non sono riuscito a trovare una fonte; così ad occhio per i numeri fino al penultimo si è andati avanti per forza bruta, poi si è usato un algoritmo che fissato il numero di cifre da testare parte dall’ultima cifra, torna alla prima e poi va avanti. La cosa più incredibile è però che a parte i numeri “facili” e se volete 2646798 che comunque ha sette cifre, ce ne sia ancora uno solo e così grande. Questo è un altro esempio di come in teoria dei numeri non possiamo mai fidarci che qualcosa “non capita per migliaia di miliardi di casi, quindi è impossibile”…