Prendete un quadrato, $ABCD$ e costruite il punto medio $E$ del lato $AD$ e il punto medio $F$ del lato $DC$. Disegnate ora i segmenti $AF$, $BF$ e $BE$. Orbene: il triangolo $BGF$ è rettangolo, ma soprattutto ha i lati in rapporto $3 : 4 : 5$.
Quando ho visto esposto questo fatto, ovviamente la prima cosa che ho pensato è “come si dimostra?”. La seconda è stata “beh, cominciamo a mettere su un po’ d’algebra”. La terza: “ma siamo matti? non sono più capace di tirare fuori una dimostrazione geometrica?” E in effetti la dimostrazione non è poi così complicata: la potete trovare dopo la figura.
Innanzitutto per la congruenza degli angoli $DAF$ e $ABE$ e per quella degli angoli $AEB$ e $BAF$ abbiamo che $AF$ e BE sono perpendicolari, e quindi $AG$ è l’altezza $AG$ del triantolo $BEA$ e pertanto medio proporzionale tra $EG$ e $GB$. Ma poiché il triangolo $EGA$ è simile a $AGB$ e il rapporto tra le due ipotenuse è $\tfrac{1}{2}$ abbiamo che $EG : AG : GB = 1 : 2 : 4$. Ma allora $FB = EB$ è cinque volte $EG$, e $FG = AF – AG = BF – AG$ è tre volte $EG$, QED. Semplice ed efficace, no?
La cosa che ho trovato più divertente di questa costruzione è che la si può fare come se fosse un origami “facile”, cosa che non è sempre semplice!
Ultimo aggiornamento: 2025-12-25 11:14
@notiziole
Ma E non è il punto medio di AD e F di DC?
Risposta remota
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Formalizziamo con qualche equazione, ma siamo matti? Mi è venuto subito in mente il tuo articolo su maddmaths!
E infatti ho subito cambiato idea. :)
Comunque, in preda a un desiderio compulsivo di masturbazioni mentali, ho provato a calcolare come ottenere, allo stesso modo, un triangolo 5-12-13. Niente, il punto E va messo sul prolungamento di AD a distanza 1/2 + 165^0.5/2 da A. Non è per nulla elegante questa cosa. :(
È il 13 che rompe le palle