772 – teoria dei numeri
Quanti interi maggiori o uguali a 0 e minori di 9261 non sono divisibili né per 3 né per 7? E qual è la loro media aritmetica?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p772.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema 4 da Stephen Siklos, Advanced Problems in Mathematics.)
Per semplicità chiamerò “buono” un numero non multiplo di 3 né di 7.
Osservo che 9261=3×3087=7×1323=21×441.
Da 1 a 9261 ci sono quindi 3087 multipli di 3 e 1323 multipli di 7; inoltre ci sono 441 multipli di 21, ossia multipli di 3 e di 7, che vanno aggiunti di nuovo al totale, per non toglierli due volte (principio di inclusione-esclusione). Dunque i numeri buoni sono 9261-3087-1323+441=5292.
Se N è un numero buono, anche M=9261-N lo è; se infatti M fosse multiplo di 3 o di 7, avremmo che anche N=9261-M lo sarebbe, in quanto differenza di due multipli di 3 o di due multipli di 7. I numeri buoni sono quindi simmetrici rispetto al punto medio dell’intervallo [1,9260] e quindi la loro media è (9260+1):2=4630,5.
Mi ero chiesto perché “interi maggiori o uguali a 0 e minori di 9261” e non semplicemente compresi tra 1 e 9261.
Facendo una semplice verifica, tra 0 (zero) e 21 (che è il minimo comune multiplo di 3 e 7), i numeri che “non sono divisibili né per 3 né per 7” risultano essere 1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 20; sono 12 numeri in tutto, questo sia partendo da zero oppure da uno, come pure fermandosi a venti oppure a ventuno.
Giusto per provare, e con un modesto impiego di energia fisica (avrei potuto farlo a mente, ma scrivere rende più facile riprendere e ampliare in un momento successivo il concetto) ho considerato i numeri compresi tra 9240 (divisibile per 3 e per 7) e 9261, ottenendo come numeri utili 9241, 9242, 9244, 9245, 9248, 9250, 9251, 9253, 9256, 9257, 9259, 9260; sono ugualmente 12 numeri in tutto, e come i precedenti non cambiano considerando o escludendo gli estremi.
Siccome la cadenza non cambia prendendo qualsiasi coppia speculare di sequenze intermedie, anche ogni somma dei singoli valori speculari non cambia, e di conseguenza la loro media.
Continuo a chiedermi il perché, anziché fare semplicemente i conti tra “uno” e “enne” si debbano farli tra “zero” e “enne meno uno”, visto che il risultato rimane lo stesso.
Mah, ci dev’essere sotto qualcosa, però “non cielo dicono” (i poteri dei quadri intermedi)…
:-)