750 – aritmetica
La professoressa Conti ha appena terminato di assegnare il punteggio (in centesimi) della verifica di matematica di recupero ai cinque studenti che erano stati assenti. I punteggi, in ordine crescente, sono stati 71, 76, 80, 82, 91. Inserendo (in ordine alfabetico degli studenti, non in ordine di punteggio) i voti in un foglio di calcolo che computa la media aritmetica man mano che viene aggiunto un nuovo voto, si è accorta che la media è sempre stata un numero intero: quindi la somma dei primi due voti inseriti era pari, quella dei primi tre numeri un multiplo di tre, e così via. Quale è stato l’ultimo voto che ha inserito?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p750.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema dall’AMC 12 dell’anno 2000; immagine da SVGrepo.)
Non si sa quale sia stato il primo voto inserito, però la somma dei primi due dev’essere pari (media intera) e la somma dei primi tre dev’essere divisibile per tre (sempre per la media intera).
Nessuno dei voti, singolarmente, è divisibile per tre quindi la somma dei primi due voti oltre a risultare pari non può essere divisibile per tre.
Quindi si parte dai primi due voti: 76+82 = 158 (divisibile per 2 ma non per 3);
+91 = 249 (divisibile per 3); +71 = 320 (divisibile per 4); +80 = 400 (divisibile per 5).
L’ho risolto a ritroso: la somma dei 5 numeri è 400, per avere una somma divisibile per 4 dopo avere levato un numero posso scegliere fra 80 e 76 entrambi divisibili per 4. Se scelgo 80 rimane 320 e posso continuare a ritroso levando 71-91-82 e rimane 76. Se invece scelgo 76 rimane 324 che è divisibile per 3 mentre nessuno dei numeri rimanenti è divisibile per 3.