741 – aritmetica
All’inizio dell’ora di matematica, la professoressa Numerica dice alla classe: “Per una volta, comportatevi bene, che oggi è il mio compleanno!”. Subito Luca Sviolini chiede “Quanti anni compie, prof?” al che la replica è “Non si chiede l’età di una signora! Però sono buona e vi do qualche indizio. Quest’anno compio abc anni in base d, dove con abc intendo il numero di tre cifre che inizia con a, continua con b e finisce con c. L’anno scorso avevo compiuto cab anni in base e, e l’anno prossimo ne compirò bca in base f. Inoltre le sei cifre a, b, c, d, e, f sono quelle da 1 a 6, non necessariamente in quell’ordine”. Luca non ha avuto il coraggio di replicare, ma voi riuscite a scoprire quanti anni ha la professoressa?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p741.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema dalla Maths Newsletter di Chris Smith.)
@notiziole
Sì riusciamo!
Ma devo ammettere, personalmente, di aver usato la "forza bruta" dopo la sola riduzione del problema a 36 casi.
Avessi fatto a mano, avrei evitato molti anche di questi 36, ma con un computer a disposizione…
Chiaramente nessuna base può essere più piccola di qualsiasi cifra utilizzabile nella composizione dei valori richiesti, quindi
d ; e ; f
corrispondono, in qualche ordine, alle cifre
4 ; 5 ; 6
pertanto alle cifre 1 ; 2 ; 3 corrispondono, in qualche ordine, i simboli a ; b ; c .
Con 6 come base, il valore 213(6) corrisponderebbe a 81 in decimale, quindi a meno di particolare attaccamento all’ambiente scolastico si dovrebbe poter escludere il 2 (e il 3) come cifra più significativa del valore espresso in base 6, pertanto avremo come valori plausibili, sempre in base 6, 123 oppure 132 e cioè, in decimale, rispettivamente 51 oppure 56 che potrebbero essere plausibili.
Con 5 come base, e non essendo possibile utilizzare la cifra 1 come più significativa perché già “presa”, la possibile combinazione 312 (5) corrisponderebbe a 82 in decimale, e vale lo stesso discorso fatto in precedenza, pertanto avremo come valori plausibili, questa volta in base 5, 213 oppure 231 e cioè, in decimale, rispettivamente 58 oppure 66 e per il momento li conserviamo entrambi ma già si vede un indizio.
Resta il 4 come base e resta il 3 come cifra più significativa per questa base, ottenendo quindi 312 oppure 321 e cioè, in decimale, rispettivamente 54 oppure 57 e quindi direi che ci siamo…
La verifica poteva anche non servire (e nemmeno tutte le possibili combinazioni) ma volendo c’è anche quella :-)
Ok alla prima parte di jpmli. Se ipotizziamo che come nella realtà la professoressa debba avere un’età<68 il numero in base 6 deve cominciare per 1, il numero in base 5 per 2 ed il numero in base 4 per 3. Il numero in base 6 può valere 51 o 56, il numero in base 5 può valere 58 o 66 ed il numero in base 4 può valere 53 o 57. L'unica sequenza numerica che rispetta i dati è 56-57-58 dunque l'età è 57.