741 – aritmetica
All’inizio dell’ora di matematica, la professoressa Numerica dice alla classe: “Per una volta, comportatevi bene, che oggi è il mio compleanno!”. Subito Luca Sviolini chiede “Quanti anni compie, prof?” al che la replica è “Non si chiede l’età di una signora! Però sono buona e vi do qualche indizio. Quest’anno compio abc anni in base d, dove con abc intendo il numero di tre cifre che inizia con a, continua con b e finisce con c. L’anno scorso avevo compiuto cab anni in base e, e l’anno prossimo ne compirò bca in base f. Inoltre le sei cifre a, b, c, d, e, f sono quelle da 1 a 6, non necessariamente in quell’ordine”. Luca non ha avuto il coraggio di replicare, ma voi riuscite a scoprire quanti anni ha la professoressa?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p741.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema dalla Maths Newsletter di Chris Smith.)
Chiaramente nessuna base può essere più piccola di qualsiasi cifra utilizzabile nella composizione dei valori richiesti, quindi
d ; e ; f
corrispondono, in qualche ordine, alle cifre
4 ; 5 ; 6
pertanto alle cifre 1 ; 2 ; 3 corrispondono, in qualche ordine, i simboli a ; b ; c .
Con 6 come base, il valore 213(6) corrisponderebbe a 81 in decimale, quindi a meno di particolare attaccamento all’ambiente scolastico si dovrebbe poter escludere il 2 (e il 3) come cifra più significativa del valore espresso in base 6, pertanto avremo come valori plausibili, sempre in base 6, 123 oppure 132 e cioè, in decimale, rispettivamente 51 oppure 56 che potrebbero essere plausibili.
Con 5 come base, e non essendo possibile utilizzare la cifra 1 come più significativa perché già “presa”, la possibile combinazione 312 (5) corrisponderebbe a 82 in decimale, e vale lo stesso discorso fatto in precedenza, pertanto avremo come valori plausibili, questa volta in base 5, 213 oppure 231 e cioè, in decimale, rispettivamente 58 oppure 66 e per il momento li conserviamo entrambi ma già si vede un indizio.
Resta il 4 come base e resta il 3 come cifra più significativa per questa base, ottenendo quindi 312 oppure 321 e cioè, in decimale, rispettivamente 54 oppure 57 e quindi direi che ci siamo…
La verifica poteva anche non servire (e nemmeno tutte le possibili combinazioni) ma volendo c’è anche quella :-)
Ok alla prima parte di jpmli. Se ipotizziamo che come nella realtà la professoressa debba avere un’età<68 il numero in base 6 deve cominciare per 1, il numero in base 5 per 2 ed il numero in base 4 per 3. Il numero in base 6 può valere 51 o 56, il numero in base 5 può valere 58 o 66 ed il numero in base 4 può valere 53 o 57. L'unica sequenza numerica che rispetta i dati è 56-57-58 dunque l'età è 57.