730 – probabilità
Conoscete sicuramente il problema di Monty Hall. Ho sbaragliato gli altri concorrenti e ora Monty Hall mi presenta tre porte: dietro una di queste c’è un’automobile (elettrica, ovviamente) mentre dietro le altre due c’è una capra. Io devo scegliere una porta e vincerò quello che sta dietro di essa; ma so che Monty Hall – che sa dove si trova l’auto – aprirà una porta dove si trova una capra e mi chiederà se voglio cambiare porta. Si può dimostrare che effettivamente conviene cambiare idea.
Supponiamo però che io abbia scoperto che una delle due capre è Vincent Van Goat, l’animale di compagnia preferito dal multimilionario John Hircus, che l’ha persa qualche giorno fa e pagherebbe una fortuna – molto più del valore dell’auto – per riaverla. Insomma io voglio vincere quella capra, non l’auto. Monty Hall naturalmente non sa nulla della cosa: per lui tutte le capre sono uguali e tirano cornate allo stesso modo. Comincia il teatrino, Monty Hall rivela che dietro una delle porte che non avete scelto c’è una capra, io la guardo e vedo che non è Vincent. A questo punto cosa mi conviene fare?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p730.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da sigmaleph su Tumblr; immagine da SVG Silh.)
Ultimo aggiornamento: 2025-01-13 10:52
Così a occhio sembra dipendere dal valore del caprone d’oro, però manca il link all’aiutino…
Sempre a sentimento, se volessi assolutamente il vitello d’oro, vorrei assolutamente evitare di trovare l’auto, quindi non cambierei porta (thumbs up per Hircus!)
Il caprone d’oro vale più dell’auto (che immagino venga subito venduta)
Conviene non cambiare.
Monty mi mostra la capra “comune” in due casi:
– se io ho scelto Vincent, il che accade con probabilità 1/3. Qui non conviene cambiare.
– se io ho scelto l’auto (1/3), la metà delle volte, quindi in un caso che si presenta con probabilità 1/6. Qui conviene cambiare.
In sostanza non cambiare è vantaggioso più di frequente.
Uhm.
Potrebbero esserci tre capre, una dietro la porta scelta e altre due dietro le altre porte (averne vista una non garantisce che poi ci sia anche l’auto); questa sarebbe in realtà una truffa, bisognerebbe aver consultato il regolamento del gioco che è stato accettato.
Per esclusione, quindi, dietro la porta scelta potrebbe esserci la capra Vincent, quindi va confermata la scelta già fatta.
Ma potrebbe esserci effettivamente l’auto che è il premio previsto dal gioco, quindi confermando la scelta già fatta si otterrebbe comunque una vincita sostanziosa.
Però, dopo aver avuto la certezza che oltre una delle porte chiuse c’è Vincent si potrebbe:
– a) tentare di barattare l’auto con entrambe le capre (con una sola sarebbe troppo strano) e poi contattare Mr. Hircus, oppure
– b) accettare la proprietà dell’auto e poi fare un esposto per abigeato (furto aggravato, ai danni del legittimo proprietario) affinché possa essere determinata la procedura dell’acquisizione di Vincent da parte della società di produzione del gioco.
Ma, prima di tutto, è effettivamente lecito “istituire concorsi a premi che abbiano per omaggio un animale vivo” (eccezione fatta in caso di precedente concessione di apposite deroghe) ?
Giusto per chiedere…
Intanto correggi “io la guardate” in “io la guardo”, poi parliamo del resto
a prima vista direi: non cambia nulla rispetto al caso “normale”, sostituendo macchina -> Vincent van Goat. Conviene cambiare
Conviene che tengo la porta che ho scelto se voglio assolutamente la capra.
Ragionamento:
A inizio gioco, avendo tutte le porte chiuse, ho il 33,34% (arrotondato anche se sò che è sbagliato) di prendere la capra Vincent, e ho la stessa probabilità per l’auto, ma il 66,675% di prendere comunque una capra (2 possibilità su 3, al contrario la macchina è 1 possibilità su 3)
Ma a metà gioco, ovvero quando il presentatore apre una porta con la capra (errata o meno che sia, si spera ovviamente la prima casistica) non ho il 50% di probabilità di avere la capra giusta come molti credono, ma il 66,68% (sempre arrotondato in errore) grazie al cambio di variabili (il gioco non ricomincia con l’apertura della porta, ma rimane uguale a prima).
A inizio gioco quindi ho il 66,675% di prendere una capra, a metà gioco ne posso avere quasi la certezza di averla dopo che il presentatore elimina dal gioco l’altra capra.
Quindi ringrazio per quel 66,675% e se voglio la macchina cambio sicuramente porta, se invece voglio la capra tengo la mia prima scelta ;) In caso di cambio di situazione tenere sempre conto delle variabili in giuoco [cit].
Saluti
All’inizio del gioco ho 1/3 di probabilità di scegliere (V)incent, 1/3 di scegliere l'(A)uto e 1/3 di scegliere l’altra (C)apra.
Però il caso C non può verificarsi: MH apre la porta di V (mentre l’enunciato del problema dice che apre la porta di C) e sono costretto a cambiare per vincere almeno l’auto.
Quindi i due casi rimanenti sono equivalenti: se scelgo A e cambio vinco V. Stessa probabilità se scelgo V e cambio, vincendo A, oppure se mantengo la prima scelta vincendo rispettivamente A e V.
No, non sono equivalenti.
Solo nel 50% dei casi in cui hai scelto una macchina il presentatore non espone Vincent.
Ergo 2/3 conviene restare.
Avevo ipotizzato, sbagliando, che la scelta di MH non fosse random. In realtà per lui le due capre sono equivalenti, e quindi il fatto che apra la porta della capra “semplice” è solo un caso.
I casi in cui viene mostrata casualmente dal presentatore la capra non Vincent sono:
1/3 del totale in cui hai scelto +
50% del 1/3 in cui hai scelto la macchina e il prentatore ha fortunosamente girato la capra sbagliata
ergo 2/3 conviene non cambiare
Conviene non cambiare, concordo con Valerio e Marco. Si può dimostrare in vari modi. Se con probabilità 1/3 ho scelto l’auto ed il conduttore sceglie la capra- Vincent ho perso in ogni caso, se invece il conduttore sceglie l’altra capra conviene cambiare, dunque cambiando la probabilità di vincita è 1/6. Se con probabilità 1/3 ho scelto la capra-Vincent ovviamente conviene non cambiare. Se con probabilità 1/3 ho scelto la capra normale ho perso perché il conduttore sceglierà la capra Vincent. Dunque la risposta è: non conviene cambiare. Si può arrivare anche applicando il teorema di Bayes: (una volta scartato il caso in cui Monthy sceglie la capra Vincent perché ho comunque perso) se Monthy sceglie la capra normale la probabilità che io abbia scelto la capra Vincent è 1/3/(1/3+1/6)=2/3 dunque conviene non cambiare.
Secondo me questo non e’ il problema di Monty Hall, il quizzino e’ formulato in modo da fuorviare.
Il testo infatti esclude intenzionalmente il caso in cui la capra mostrata da Monty sia Vincent Van Goat: “Monty Hall rivela che dietro una delle porte che non avete scelto c’è una capra, io la guardo e vedo che non è Vincent”.
Ci sono quindi solo due casi e non tre. Non e’ Monty Hall. La probabilita’ di entrambi e’ 1/2, cambiare non aiuta.
Chi ha detto che questo è il problema di Monty Hall? L’ho raccontato apposta all’inizio, compreso di soluzione. Né mi pare di averlo scritto in maniera fuorviante: ho specificato la differenza di base…