Siete capaci di risolvere il seguente problema geometrico senza fare conti, ma solo usando la logica? (Poi se volete risolverlo anche in modo ufficiale ne avete facoltà…)
Un triangolo rettangolo ABC ha i lati a, b, c opposti agli angoli rispettivi: l’ipotenusa è c. Quanto misura il raggio dell’incentro del triangolo?
(a) (a + c − b)/2
(b) (a + b + c)/2
(c) (b + c − a)/2
(d) (a + b − c)/2
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p700.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Pat’s Blog.)
Volutamente senza leggere l’aiutino (non so neanche se c’è)…
– Ipotizziamo che ABC sia un triangolo rettangolo isoscele ottenuto tagliando un quadrato AXBC lungo la diagonale AC (e mettendo da parte il triangolo AXB, perché in futuro potrebbe sempre servire, non si sa mai); ipotizzando che i lati del quadrato corrispondono a 1 unità, sia “a” che “b” misurano 1 unità mentre “c” misura √2 unità.
La misura del segmento CH, nell’immagine, corrisponde alla misura del raggio del cerchio inscritto e pertanto alla misura del segmento AC (l’intero cateto) meno la misura di metà ipotenusa (perché s’è posto che il triangolo rettangolo fosse anche isoscele) quindi in definitiva b – c/2 , però essendo isoscele si può anche scrivere legittimamente a – c/2 ; e perché no, anche (a/2 + b/2) – c/2 (sembra inutile ma non lo è).
– Ora ipotizziamo che il triangolo rettangolo assomigli ad un cuneo mooolto affilato, in cui l’angolo opposto al lato “a” misuri 89°59’59” e per conseguenza l’angolo opposto al lato “b” misuri 0°00’01” (non so neanche quanto sia fattibile, ma per adesso si continua senza fare obiezioni e senza fare calcoli), quindi la misura del raggio del cerchio inscritto è quasi uguale a metà della misura del cateto minore, solo leggermente di meno, cioè b/2 diminuito di qualcosina-ina; tra le possibili scelte ci starebbe bene la semidifferenza tra ipotenusa e cateto maggiore, cioè b/2 – (c-a)/2 che, tolte le parentesi e riordinando, diventa a/2 + b/2 – c/2 (come si vede, scriverla in quel modo non era del tutto inutile).
Sempre salvo errori, naturalmente.
La risposta è la D) Chiamiamo r il raggio della circonferenza inscritta, K il punto di tangenza su c ed L il il punto di tangenza su b. Ricordando che le tangenti da un punto esterno ad una circonferenza sono congruenti e che le tangenti sono perpendicolari al raggio nel punto di tangenza si ricava OH=HC=CL=r. Dunque BL=BK=a-r ed AH=AK=b-r da cui si ricava che c= (a-r)+(b-r) e concludiamo che r=(a+b-c)/2
Per la risposta senza fare i conti: a) e c) sono da scartare perché il raggio della circonferenza inscritta sarebbe più lungo di metà cateto dunque il diametro sarebbe più lungo del cateto stesso e non si potrebbe costruire il triangolo, la b è da scartare a maggior ragione perché il raggio sarebbe più lungo di ognuno dei lati.
terrei la d (cioè ho buone ragioni per scartare a, b, c – la d non è banalmente sbagliata):
– scarto tutte quelle dove non posso scambiare i due cateti
– scarto la b perché non mi torna il limite r piccolo con un cateto piccolo
– resta la d
Usando la logica che si applica (o almeno che io applico) sui test a crocette elimino la a e la c perché altrimenti le soluzioni sarebbero “asimmetriche” rispetto ai due cattivi a e b.
Mi rimangono la b e la d che differiscono solo per un segno: scelgo la d perché tutte le altre soluzioni proposte hanno sempre un “-” e se sono proposte vuol dire che sono varianti della soluzione corretta.
Senza conti scelgo la d ;-)