Moltiplicare con una parabola

moltiplicatore parabolico, da https://www.futilitycloset.com/2023/10/13/a-parabolic-calculator/

Al Mathematikum, museo interattivo della matematica a Gießen, trovate anche questo moltiplicatore parabolico mostrato in fondo a questo post. Come vedete, un filo è teso per mezzo di due pesi: si mette il filo in modo che passi per due punti della parabola corrispondenti a due valori dell’asse x, e nel punto in cui il filo incrocia l’asse y si può leggere il prodotto dei due numeri. Il bello è che si può anche cambiare la scala relativa dei due assi, come ho fatto io: il sistema funziona lo stesso. Trovate un esempio interattivo qui.

Ma come mai funziona? Bisogna fare un po’ di conti, usando la geometria analitica. Nella figura qui sotto, sia a il punto sul lato sinistro dell’asse x e b quello sul lato destro. Sappiamo allora che la pendenza del segmento obliquo è m = (b² − a²)/(b − (−a)) = b − a. L’equazione generica di una retta è y − y0 = m(x − x0); sostituendo a m il valore appena trovato e a x0 e y0 rispettivamente b e b², otteniamo y − b² = (b − a)(x − b). Infine, visto che ci interessa il punto in cui questa retta incontra l’asse y, sostituiamo a x il valore 0 e ricaviamo y = ab.

Questo moltiplicatore parabolico è un esempio di calcolatore analogico. Prima dell’avvento dei calcolatori digitali, esistevano ingegnosi apparecchi che permettevano di trovare il risultato di operazioni con tecniche di questo tipo. Il regolo calcolatore è l’esempio più noto, ma per operazioni specializzate si potevano costruire calcolatori analogici specializzati. Per la moltiplicazione non ne vale la pena, ma per certi tipi di operazioni, come equazioni differenziali sì. Il guaio è che per ogni tipo di operazione occorre un calcolatore analogico diverso: volete mettere il vantaggio di averne uno digitale che si può programmare?

Aggiornamento (11:00) Roberto Zanasi mi ha detto che per dimostrare che in effetti quel segmento corrisponde al prodotto delle due misure è più semplice usare il teorema di Talete. Nella figura qui a fianco potete vedere che AM/OH = OH/BN, cioè a²/x = x/b² da cui x = ab.

Ultimo aggiornamento: 2023-10-18 11:17

7 pensieri su “Moltiplicare con una parabola”

  2. mu/6

    Io non ho capito la dimostrazione di Zanasi col Teorema di Talete: dal quel teorema segue che AO/MH = OB/HN, e poi? Bisognerà pure usare che i punti stanno sulla parabola… Me lo puoi spiegare meglio?

    1. .mau. Autore articolo

      lo metti direttamente nella formula! Se il punto sull’asse x è a (oppure -b) l’intersezione della parabola con la perpendicolare all’asse x è a^2 (oppure b^2)

  3. mu/6

    Scusa, il mio dubbio è proprio sul teorema di Talete. Dal teorema io deduco che AO/MH = OB/HN, mentre tu dici che AM/OH = OH/BN (che è una cosa ben diversa). Forse mi sono perso qualcosa…

    2. .mau. Autore articolo

      ok. Tracciate le parallele ad AB da H (che tocca BN in P) e M (che tocca OH in Q). Abbiamo che HPN e MQH sono simili, quindi (b²-x)/b = (x-a²)a, cioè ab² – ax = bx – a²b, da cui x = ab.

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