Costruite un quadrato e disegnate una diagonale che lo divida in due, come mostrato in figura. Nei due triangoli ottenuti inscrivete due quadrati A e B, il primo con i lati paralleli a quelli del quadrato di partenza e il secondo con un lato sulla diagonale. Quale dei due quadrati è il maggiore?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p662.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Gifted Mathematics.)
Il quadrato A (rosso, nell’immagine), per come è costruito, ha il lato pari a metà dl quadrato di partenza (che poi chiamerò Q) altrimenti non risulterebbe quadrato.
Del quadrato B (azzurro, nell’immagine), sappiamo che ciascun suo lato (che sono uguali, altrimenti non risulterebbe quadrato) è pari al cateto del triangolo rettangolo (isoscele) in alto sulla sinistra (la cui ipotenusa corrisponde alla parte sinistra del lato superiore di Q) ed è anche pari all’ipotenusa del triangolo rettangolo (isoscele) visibile in corrispondenza del vertice in alto a destra di Q.
Quindi:
lato(A) = lato(Q) / 2
lato(B) * SQRT(2) + lato(B) / SQRT(2) = lato(Q)
da cui:
lato(B) / lato(A) = 2 * SQRT(2) / 3
La differenza non si nota subito ma ci sta :-)
Chiamiamo Q il quadrato originale, T1 i due triangoli accanto al quadrato A, T2 i due triangoli accanto al quadrato B e adiacenti alla diagonale, T3 il triangolo in alto a destra.
Facciamo l’ipotesi che i quadrati A e B siano uguali, quindi saranno uguali anche T1 e T2.
Ma in questo caso le due metà di Q saranno diverse, perché una sarà formata da A + 2 * T1, l’altra da B + 2 * T2 + T3, il che è assurdo.
Quindi i triangoli T2 devono essere più piccoli dei triangoli T1, di conseguenza B sarà più piccolo di A.
“canta, canta intrepido” (Poesia gaussiana) Benvenuti all’edizione numero 172 del Carnevale della matematica, dal tema libero! Il 172 si fattorizza 2×2×43: la cellula melodica ha…