Prendete il numero 13: la somma delle sue cifre è 4 (in qualunque base numerica lavoriamo: se siamo in base 4, naturalmente la somma delle cifre di 13 si indicherà con “10”, ma è sempre lo stesso numero). Consideriamo ora 13 come un numero scritto in base 4: se lo convertiamo in base 10 abbiamo 7. Definiamo dunque 7 numero basico: in generale un numero basico è quello che se espresso in una certa base ha la somma delle sue cifre uguale alla base stessa. Altri esempi di numeri basici sono 9 (se lo scriviamo in base 2 è 1001, e la somma delle sue cifre è 2) e 19 (se lo scriviamo in base 10 continua a essere 19, e 1+9=10). Possiamo avere anche numeri basici in basi maggiori di 10: se usiamo la base 16, per esempio, il numero 106 si scrive 6A, e 6+A è proprio 16, o se preferite 10 scritto in base 16. In compenso, 2 non è basico; in base 2 si scrive 10 e quindi la somma delle cifre è 1, mentre nelle basi superiori a 2 si continua a scrivere 2 e quindi inferiore alla base stessa. Quali sono i numeri non basici tra 1 e 100?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p654.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema di Richard Mankiewicz, da Gifted Mathematics.)
Ultimo aggiornamento: 2023-07-30 10:39
non ho capito nulla: e l’ultima frase è particolarmente oscura
Dov’è scritto “la somma delle loro cifre uguale al numero stesso” intendi “uguale alla base stessa”? Sennò non torna (e banalmente tutti i numeri sono basici).
Comunque sì, stavolta l’enunciato è piuttosto intricato.
Vediamo; per i numeri compresi tra 1 e 100 diventa innanzitutto difficile capire come gestire correttamente la base 1, però ammettiamo pure che 1 sia basico per se stesso; in base 2 si trova che 3(10) [=11(2)], 5(10) [=101(2)], 6(10) [=110(2)], 9(10) [=1001(2)], 10(10) [=1010(2)], 12(10) [=1100(2)] e così via fino a 72(10) [=1001000(2)], 80 [=1010000(2)], 96 [=1100000(2)] sono tutti numeri basici (per la base 2).
Per quelli in base 3 la verifica è un po’ più complessa ma si inizia a capire come può funzionare: 5(10) [=12(3)], 7(10) [=21(3)], 11(10) [=102(3)], 13(10) [=111(3)], 15(10) [=120(3)], 19(10) [=201(3)] e così via fino a 91(10) [=10101(3)], 93(10) [=10110(3)], 99(10) [=10200(3)] sono tutti numeri basici (per la base 3).
Già si nota che alcuni numeri sono basici con più di una base, il 2 non lo è (ma questo era già stato segnalato); per una base N qualunque, dal 2 fino al 50, si può vedere che c’è almeno il numero (1)*(N^(1)+(N-1)*(N^(0), cioè 2*N-1, che è basico per quella specifica base.
Quindi, tutti i numeri dispari (*) sono basici per almeno una delle basi considerate
(* : compreso 1 se abbiamo presa per buona l’assunzione iniziale, altrimenti si parte da 3).
Per i numeri pari è tutto un altro discorso, ma già si è visto che 2, 4 (e 8) non lo sono, però 6, 10, 12 sì; non ho voglia, adesso, di generalizzare i calcoli, posso aspettare tranquillamente qualche giorno :-)
Nota: sì, anche per me l’enunciato è abbastanza contorto, ma ci si può adattare.