Siamo tutti in grado di riempire un piano con tanti quadratini uguali. Ovviamente dovremmo avere un tempo infinito a disposizione o limitarci a dare una formula esplicita per la posizione dei quadrati, ma i matematici non si curano di queste quisquilie. Anche esagoni e triangoli riempiono il piano in modo semplice: si può dimostrare che un qualunque triangolo o quadrilatero convesso può farlo, e ci sono quindici famiglie diverse di pentagoni (non regolari) connessi che permettono di riempire il piano.
Tutte queste tassellature (è il nome tecnico) hanno una proprietà in comune: sono periodiche. Detto in altri termini, se noi guardiamo il piano mettendo come origine un punto specifico, qualcuno potrebbe traslare il piano e noi non ci accorgeremmo di nulla: su un foglio (infinito) a quadretti possiamo per esempio spostarci di un quadretto a sinistra o a destra. Essendo i matematici quello che sono, si sono presto posti la domanda “esiste una tassellatura aperiodica del piano?
Nel 1961 il logico Hao Wang cercò di scoprire se dato un insieme di piastrelle si poteva trovare un algoritmo che dice se è possibile tassellare con esse il piano. Dimostrò che lo si può fare se e solo se esiste una tassellatura periodica; tre anni dopo Robert Berger mostrò che quel problema era insolubile, presentando un insieme di 20426 tessere diverse che permettono sono una tassellatura aperiodica. Da quel momento è partita una gara per ridurre il numero di tessere distinte necessarie: fino a ieri il record era detenuto da sir Roger Penrose e Robert Ammann, che nel 1974 trovarono le due tessere “dart” e “kite”. (Nota per i pignoli: per garantire che l’unica tassellatura possibile del piano sia aperiodica bisogna specificare alcune regole di adiacenza: lo si fa con degli incastri come nelle tessere dei puzzle che rovinano la bellezza delle forme).
Per quasi mezzo secolo c’è stata la ricerca di “einstein”, la forma singola che tassellasse il piano in modo aperiodico, chiamata così non in omaggio ad Alberto ma perché in tedesco “ein Stein” significa “una pietra”. Ci furono alcuni risultati, ma la tessera ottenuta non era semplicemente connessa (cioè era fatta di pezzetti sparsi qua e là) e quindi è squalificata. Ieri però è giunta la notizia che David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan, e Chaim Goodman-Strauss hanno trovato una singola tessera, che hanno chiamato “hat”, cappello, con questa proprietà; o per meglio dire hanno trovato una famiglia di tessere di cui l’hat è il membro archetipico. Trovate qualche informazione aggiuntiva in questo toot di John Baez.
La parte più interessante di tutto questo è che le tassellature aperiodiche possono esistere in natura! I quasicristalli sono strutture di questo tipo, che permettono per esempio di avere una simmetria pentagonale che era vietata dalla teoria. (Ricordo che l’aperiodicità è solo per traslazione, la rotazione è permessa). Nessuno avrebbe pensato a cercare queste strutture minerali se non ci fosse stato questo esempio teorico…
Con la scoperta della singola tessera, la storia finisce qui? Non ancora. Questo hat ricopre il piano, ma occorre anche rovesciare la tessera oltre che traslarla e ruotarla. Sarà possibile evitare questa macchiolina?
Ultimo aggiornamento: 2023-03-22 11:31
Ma sa che io questa storia della tassellatura aperiodica (che non è la prima volta che vien fuori) non l’ho m ica capita? E mi sono anche andato a leggere gli articoli su wikipedia, che chiarissimi pure loro non sono. Anzitutto, se guardo le tessere di colore e rotazione uguale, mi sembra che attorno abbiano tessere con colori e rotazioni uguali; e in secondo luogo, dato che le tessere hanno dimensioni finite, non foss’altro per il teorema dei cassetti prima o poi in un piano infinito le combinazioni si ripeteranno, no?
In una tassellatura aperiodica le rotazioni sono ammesse, ma dovrei averlo scritto. Quella di Penrose ha per esempio a simmetria rotazionale pentagonale.
Il teorema dei cassetti ti dice semplicemente che una qualunque configurazione finita di tessere si ripeterà infinite volte. Però il contorno esterno delle configurazioni saranno diverso. È un po’ come la costante di Champernowne 0,12345678910111213… dove la parte decimale contiene tutti i numeri naturali uno dopo l’altro. Ogni successione finita di cifre appare infinite volte, ma il numero è irrazionale.
Se vuole Le dico che ho capito, però non ho mica capito.
È bellissima! Questo delle tassellazioni è uno dei miei chiodi fissi da informatico non-matematico. Grazie!
la cosa più affascinante è che, osservando appena un po’ meglio, la base è la tassellatura esagonale regolare a nido d’ape. Solo che gli esagono sono divisi in sei quadrilateri uguali, e ogni tessera einstein è composta da otto di questi quadrilateri. Sembrerebbe logico che questa configurazione fosse più facile da scoprire che non la geniale “aquilone e coda di rondine” di sir Roger
Oggi ho avuto un deja-vu: https://www.ilpost.it/2023/04/05/tassellazione-non-periodica-einstein/
Ho scoperto che il 15 marzo c’è stato un tentativo di bucare il server dall’indirizzo IP 193.42.33.192. Per darvi un’idea, ecco gli accessi tra il 14 e il 16:
Day Visits Pages Hits Bandwidth
14 Mar 2023 1,361 5,452 11,874 268.10 MB
15 Mar 2023 1,299 479,883 491,971 16.25 GB
16 Mar 2023 1,162 8,038 12,409 281.81 MB
Posso quindi solo indicare come dati
Visitatori unici 17.985 (+2985)
Numero di visite 39.091 (+4779)
L’unico giorno sotto le 1000 visite è stato sabato 18 marzo (912): il massimo si è avuto venerdì 3 marzo con 2359 visite. La top 5:
Il paradosso dei gelatai 2.0: 4622 visite
Variante di [Vv]alico: 1053 visite
inPoste.it®, tNotice®, SHA-7, e le “raccomandate certificate”: 847 visite
Eupnoico:: 789 visite
Tassellazione aperiodica: una forma basta: 766 visite
Ci sono altri 8 post oltre le 500 visite, tra l’altro.
Tra le pagine evergreen, sopra le 500 visite ci sono radice quadrata (1353), romanaccio (1082), Chi sono (529).
Vedo poi 413 download di 0.tgz (il file col mio giochino di tanti anni fa). Legate invece all’attacco, 3804 stringhe di ricerca “testing” e undici ciascuna per questi attacchi:
“testing<esi include src= http //bxss.me/rpb.png />” (scanner Acunetix)
“testing ||dbms_pipe.receive_message chr 98 ||chr 98 ||chr 98 15 ||” (Oracle SQL injection)