Quali sono le soluzioni (reali) dell’equazione x²+y² = xy?
![[x²+y² = xy]](https://i0.wp.com/xmau.com/wp/notiziole/wp-content/uploads/sites/6/2021/09/q546a.png?resize=525%2C120&ssl=1)
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p546.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Matt Enlow.)
Quali sono le soluzioni (reali) dell’equazione x²+y² = xy?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p546.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Matt Enlow.)
Probabilmente sto per scrivere una fesseria totale, ma a costo di farmi stracciare il voto all’esame di Analisi 1…:
ho interpretato la domanda come “ci sono (e non “quali sono”) le soluzioni reali?” e penso che non ce ne siano.
Provo a scrivere così:
x^2+y^2=xy
x^2+y^2-xy=0
moltiplico per 2
2x^2+2y^2-2xy=0
x^2+y^2+(x^2+y^2-2xy)=0
x^2+y^2+((x-y)^2)=0
Scritta in questo modo, ho una somma di tre quadrati che deve dare risultato zero.
i quadrati sono sicuramente tutti positivi (o tutti zero), quindi non riesco a capire quali soluzioni ci possono essere, e per me non ce ne sono.
Cosa non ho capito?
(attendo pernacchie, sberleffi, smentite, richieste di tornare ad usare il pallottoliere… :-) :-) )
Mi è venuta in mente un’altra cosa.
posto alfa = un angolo, se io pongo X=funzione seno di alfa e Y=funzione coseno di alfa, il quesito si legge
(sin(alfa))^2+(cos(alfa))^2=sin(alfa)cos(alfa)
la parte sinistra dovrebbe essere l’uguaglianza ad 1, quindi
1=sin(alfa)cos(alfa)
che è ancora, dalla trigonometria dell’ultimo anno del classico
sin(2alfa)/2 = 1
quindi
sin(2alfa)=2
che è impossibile.
Non so che dire, sono curioso di leggere la soluzione mercoledì :-)
Non va bene perché se imponi x=sen() decidi che x è limitata tra -1 e +1
hai ragione. Purtroppo mi sono incaponito con il fatto che ci fosse un trucco e che x e y dovevano essere qualcosa con tangente(alfa) che copre tutti i valori di R da -infinito a +infinito, ma alla fine non sono arrivato a nulla
Forse mi perdo qualcosa, ma non si può semplicemente risolvere con:
x=-y+sqrt(y^2-4*y^2), il tutto diviso 2? (e la “gemella” in cui sostituisco il +con un -)
Il tutto ha soluzioni reali iff y^2 = 0 da cui x = 0
soluzione di una equazione di secondo grado. Così era più semplice in effetti, però mi sembra che siamo sempre al x=y=0.
Ed io che mi ero messo pure a fare circonferenze ed iperboli
Ancora più banalmente si può vedere che è l’equazione di un’ellisse centrata nell’origine con entrambi i semiassi di lunghezza nulla