Un’urna contiene 100 biglie di tre colori diversi. La probabilità che estraendone tre siano tutte di colori diversi è esattamente 1/5. Quante sono le biglie di ciascun colore?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina https://xmau.com/quizzini/p527.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema di Matt Enlow, da Five-Thirtyeight; immagine da FreeSVG.
Ci sono 27 permutazioni (3**3) per i risultati di tre estrazioni che possono dare tre valori. Di queste, sono 6 quelle che danno tre valori distinti (abc, acb, bac, bca, cab, cba). Per ognuna di queste sequenze la probabilità che si verifichi sarebbe (N1/100)*(N2/99)*(N3/98). Se la probabilità che ci siano tre estrazioni diverse è esattamente 1/5 allora deve valere la relazione
(N1/100)*(N2/99)*(N3/98)*6 = 1/5
N1*N2*N3 = 32340 = 2*2*3*5*7*7*11
L’altra relazione utile per risolvere il problema è N1+N2+N3 = 100
Tenendo presente che i tre numeri sono interi, la terna che soddisfa le due relazioni è 35, 21, 44
a proposito della domanda che poni nella soluzione, ho provato a trovare altre terne (con minizinc), con valori diversi della somma dei tre numeri e ce ne sono diverse, anche se credo finite. Per esempio ci sono
1,1,4
2,2,6
4,7,11
…
8,14,19
…
128,146,238
…
258,406,498
quest’ultima terna sembra essere la più grande possibile.
La somma dei tre numeri che soddisfano le condizioni della probabilità 1/5 del quiz dà origine a una sequenza (6, 10, 22, 26, 27, 35, 36, 40, …) che sarei curioso di proporre come problema in una competizione. Anche se questi tipi di problemi a me non piacciano, per la ragione a cui accennavi in uno dei recenti quizzini. Io di sicuro non riuscirei a risolverlo, ma magari potrebbe essere banale per un matemagico.
Con le probabilità 1/3 e 1/4 non sembrano esserci soluzioni, mentre con 1/2 sembra essercene una sola (lo lascio come controquizzino), con 1/6 ce ne sono diverse (p.e. la più piccola 1,4,5 e la più grande 170, 436, 484), etc.
Se l’urna contiene 100 biglie, esiste un’altra probabilità 1/N con N intero, oltre a 1/5, che corrisponde a quella di estrarre tre biglie diverse, ed è 1/1650, con la terna 98, 1, 1.
sì, da qualche parte Enlow aveva postato la lista completa delle possibili soluzioni.