Quizzino della domenica: raggruppamenti

Il Circolo Hex di Viù ha dieci membri. Lo scorso anno fecero un torneo molto strano: ognuno di loro giocò contro ciascuno degli altri una singola partita, e poi i membri del circolo si raggrupparono per numero di partite vinte. (Hex non ammette il pareggio) In altre parole, tutti e soli quelli che avevano vinto tre partite finivano nello stesso gruppo. Una possibilità è che ci siano dieci gruppi diversi, nel caso un giocatore abbia vinto tutte le partite, il secondo tutte tranne che col primo, il terzo tutte tranne che con i primi due, e così via. Dimostrate che non si può avere ottenuto un singolo gruppo oppure nove gruppi diversi. Naturalmente è possibile che A abbia battuto B, B abbia battuto C e C abbia battuto A…


scacchiera Hex

(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p509.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema da Hugo Steinhaus, One Hundred Problems in Elementary Mathematics, n. 83)


One comment

  1. All’inizio mi sembrava impossibile da risolvere, poi ho pensato ad un approccio più semplicistico (senza pretesa di averci preso):

    non si può avere un singolo gruppo perché le partite in tutto sono 45, e distribuite su 10 giocatori non c’è la possibilità di far vincere a tutti lo stesso numero di partite.

    non si possono avere 9 gruppi perché partendo da una distribuzione in 10 gruppi (un giocatore con 0 vittorie, poi un giocatore con 1, un giocatore con 2, ecc.), non c’è modo di redistribuire le vittorie ottenute da un giocatore senza creare automaticamente DUE gruppi che contengano almeno due giocatori con lo stesso numero di vittorie, di conseguenza da 10 gruppi di passa almeno a 8 gruppi bypassando la possibilità di fare 9 gruppi.

    Mi sembra un po’ semplicistico e poco matematico… ma la mia logica dice questo.