La corte interna del palazzo del duca di Cornicia è di forma quadrata, e interamente ricoperto da lastre quadrate di lato 80 cm, bianche e nere. La lastra centrale è nera, è circondata da una cornice di lastre bianche che a sua volta è circondata da una cornice di lastre nere e così via, come mostrato nella figura qui sotto. Ciascuna cornice è ovviamente larga 80 cm. Gli archivi ducali conservano un documento che indica che le lastre nere che sono state acquistate sono 169 più di quelle bianche (che costavano di più); tutte le lastre sono state acquistate. Qual è il lato della corte?
(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina http://xmau.com/quizzini/p496.html; la risposta verrà postata lì il prossimo mercoledì. Problema tratto da Louis Thépault, Le chat à six pattes et autres casse-tête.)
Se la cornice più esterna fosse di lastre bianche, il numero di queste supererebbe quello delle nere, quindi sicuramente quella più esterna sarà una cornice di lastre nere; la larghezza totale della corte, espressa in numero di lastre, è pertanto un numero appartenente alla serie 1, 5, 9, …(n*4+1).
Dal metodo di composizione utilizzato si vede che le lastre nere utilizzate sono sempre dispari e quelle bianche sempre pari, semplicemente perché tutte le cornici (tutte, bianche o nere) hanno un numero di lastre pari, più quella singola nera al centro della corte, che sicuramente non è una cornice.
Quindi, con una sola cornice bianca e una nera (più la lastra centrale), il totale delle nere (1+16) supera il numero delle bianche (8) di 9 unità, con due cornici bianche e due nere (sempre più la lastra centrale) siamo a 17 lastre nere più di quelle bianche, e così via per ogni ulteriore gruppo bianco e nero di cornici, incrementando la differenza totale di 8 unità, ogni gruppo aggiunto.
Allora, se la differenza tra il numero di lastre nere e quelle bianche è 169, basta fare
( differenza – 1 ) / 8
per trovare il numero di cornici, alternativamente bianche e nere, utilizzate (sempre più la lastra nera al centro), poi il risultato va utilizzato nel calcolo della larghezza totale della corte, espressa in numero di lastre (formuletta indicata all’inizio), ed infine, data la dimensione di ogni singola lastra, la lunghezza in metri di ogni lato.
(Off-topic: stavolta *non* ho cannato clamorosamente un riferimento nel foglio elettronico utilizzato per tenere traccia dei calcoli, non essendo necessario) :-)
Ci provo senza troppo rigore, vediamo se l’intuizione funziona…
Se tralasciamo la lastra al centro, ogni coppia di cornici bianche+nere è formata da 4 lastre nere più delle bianche (quelle negli angoli).
Il lato della cornice nera (in lastre) è uguale al totale delle lastre nere in più (sempre ignorando la prima) rispetto alle bianche, più 1.
Infatti, dopo la prima coppia abbiamo 4 lastre nere in più, lato della cornice nera 5; dopo la seconda coppia 8 lastre nere in più, lato della cornice nera 9, e così via…
Secondo questa regola, 168 (più la centrale) lastre nere in più vogliono dire 169 lastre di 80 cm per lato, cioé 135,2 metri.
FF
Ovviamente il mio calcolo è sbagliato :-(
…Ma il ragionamento non del tutto. Come notava anche j-li nel suo commento, le lastre nere sono 8 (e non 4) più delle bianche per ogni coppia di cornici.
Quindi 168 diviso 8 dà 21 coppie di cornici nere-bianche.
Ma il lato delle cornici nere è sempre uguale al numero di coppie per 4 più 1.
E (21 x 4) + 1 = 85, che è il numero di lastre trovate anche da albestro :-)
FF
La successione dei lati corrisponde ai numeri dispari [1,3,5,7,9,11,13,…] e considerando l’alternanza, avremo
l_black = [1,5,9,13,…]
e
l_white = [0,3,7,11,…]
La sequenza dei lati bianchi inizia con 0 per allineare le due sequenze: considerato il pattern, siccome le piastrelle nere sono in numero maggiore di quelle bianche, l’ultima cornice sarà composta con piastrelle nere (per questo motivo dobbiamo considerare la cornice bianca di lato 3 come l’inizio della seconda “coppia” di cornici).
Escludendo il primo elemento delle sequenze, possiamo definirle analiticamente come
l_black(t) = 4t+1
l_white(t) = 4t-1
Inoltre, siccome dobbiamo valutare il numero totale di piastrelle, è utile definire una funzione che a partire dalla dimensione del lato restituisca il numero di piastrelle da utilizzare per quella cornice. Questa semplice funzione è
count(l) = 4(l-1)
A questo punto, possiamo definire il numero di piastrelle usate a un generico step come (tenendo conto dei primi elementi della sequenza non considerati nella formula analitica)
total_black(t) = 1 + sum[0->t](count(l_black(t)))
total_white(t) = 0 + sum[0->t](count(l_white(t)))
A questo punto il problema può essere definito come trovare lo step t per cui
total_black(t) = 169 + total_white(t)
1 + sum[0->t](count(l_black(t))) = 169 + 0 + sum[0->t](count(l_white(t)))
sum[0->t](count(l_black(t))) = 168 + sum[0->t](count(l_white(t)))
sum[0->t](count(4t+1)) = 168 + sum[0->t](count(4t-1))
sum[0->t](4(4t+1-1)) = 168 + sum[0->t](4(4t-1-1))
sum[0->t](16t) = 168 + sum[0->t](16t-8)
sum[0->t](16t) = 168 + sum[0->t](16t) – sum[0->t](8)
0 = 168 – sum[0->t](8)
sum[0->t](8) = 168
8t = 168
t = 21
Quindi, allo step 21 otteniamo che ci sono 169 piastrelle nere in più di quelle bianche. A questo punto, è semplice verificare che il lato di piastrelle nere, visto che è quello più esterno, allo step 21 è pari a
l_black(21) = 4 * 21 + 1 = 85
Spero di non aver toppato nulla